Miten yleensä toimitaan seuraavanlaisissa tehtävissä?
kumpi luvuista on suurempi a^2 (1/2)*b^2 vai ab kun a ja b eivät ole nollia. Esimerkit eivät käy esimerkiksi.
a^2 (1/2)*b^2=ab |*2
2a^2 b^2=2ab
tässäkin vaiheessa nähdään jo että vasen puoli on suurempi mutta miten todistan
kumpi luvuista on suurempi a^2 (1/2)*b^2 vai ab kun a ja b eivät ole nollia. Esimerkit eivät käy esimerkiksi.
a^2 (1/2)*b^2=ab |*2
2a^2 b^2=2ab
tässäkin vaiheessa nähdään jo että vasen puoli on suurempi mutta miten todistan
Vastaukset 13
Vanhimmat
Sitten mites tämmöinen?
K^3-k on jaollinen kuudella olipa k mikä tahansa luonnollinen luku. Tämän saa kyllä selville sijoittelemalla arvoja, mutta en tiedä miten ilmaisisin oikein ja matemaattisesti?
Onko tämä sinne päinkään?
k3-k K ∈ |N
k(k^2-1)
k(k 1)(k-1)=0
K=0 ja k=-1 ja k= 1
Nolla kohdat ylhäällä mutta mites sillä edes tekee?
k3-k = k(k 1)(k-1)
Tuosta näety, että luku on kolmen peräkkäisen luvun tulo. Niistä vähintään yhden on oltava jaollinen 2:lla (koska joka toinen luku on) ja yhden jaollinen kolmella (koska joka kolmas luku on. Siis 2 ja 3 ovat alkuperäisen luvun tekijöitä ja siten myös 6 on sitä.
Ihan laskemalla 2a^2-2ab b^2=a^2 (a-b)^2.
Ensimmäisessä tehtävässä lähde vaikka liikkeelle tarkastelemalla noiden lukujen erotusta a^2 (1/2)*b^2 - ab.
Tuosta se tulee aika helposti.
Vielä todistelun systematiikasta, että tässä tehtävässä on järkevintä lähteä liikkeelle tuosta lausekkeiden erotuksesta ja päätyä toteamaan, että se >0. Mutta sitä ei pidä etukäteen merkitä =0 tai >0, muuten todistuksen logiikka menee sekaisin.
Joissakin todistuksissa on kätevintä lähteä liikkeelle vastaoletuksesta (esim. tässä tehtävässä se olisi ollut että lausekkeiden erotus
k3-k/6 = k/1*(k 1)/2*(k-1)/3
k^2-1^2/2(k-1)*k^2-1^2/3(k 1)
(k^2-1)^2/6(k^2-1)
k^2-1/6
Ympyrällä ja neliöllä on sama p-ala kuinka monta prossaa neliön piiri on pisempi kuin ympyrän kehä
a=sqrt(pi*r^2)
4a > 2*pi*r
4*r*sqrt(pi)>2*pi*r
4*r*sqrt(pi)-2*pi*r*100/4*r*sqrt(pi)... Tässä hommassa menee nyt jokin mönkään..
4a/2*pi*r = 4*sqrt(pi*r^2)/2*pi*r = sqrt(pi)/2
Neliöksi täydentämällä homma onnistuu vaikkapa näin
a^2 (1/2)*b^2
= a^2 (-b/sqrt(2))^2
= a^2 2*a*(-b/sqrt(2)) (-b/sqrt(2))^2 - 2*a*(b/sqrt(2))
=(a-b/sqrt(2))^2 sqrt(2)ab
Tässä ensimmäinen termi on aina ei-negatiivinen ja toisen termin kerroin sqrt(2) on ykköstä suurempi, joten väite pitää paikkansa.
Entä jos parista ab toinen on negatiivinen. Silloin sqrt(2)ab < ab.
Hyvä havainto.
Tarkasteluni koski tilannetta, jossa ab on positiivinen.
Mainitsematta jäi, että tllanne, jossa tulo ab on negatiivinen, on triviaalisti tosi.
Tekstillä 'Esimerkit eivät käy esimerkiksi' aloittaja yrittää ilmeisesti sanoa, että esimerkit eivät riitä yleisen tuloksen todistukseksi.
Mutta itse asiassa ne kyllä riittävät, jos lähtökohdaksi hyväksytään väliarvolauseesta seuraava analyysitulos:
Lause: Jos f(x,y) on jatkuva funktio RxR->R, joka saa sekä positiivisia, että negatiivisia arvoja, niin yhtälön f(x,y)=0 ratkaisujoukko on ylinumeroituva.
Tarkastellaan erotusfunktiota f(a,b)=a^2 (1/2)*b^2-ab
Tämä funktio on polynomifunktiona selvästi jatkuva.
Asetetaan f(a,b)=0
Ts.
a^2 (1/2)*b^2-ab = 0
b^2-2ab 2a^2 = 0
(b^2-2ab a^2) a^2 = 0
(b-a)^2 a^2 = 0
a=b=0
Ratkaisuja (erotusfunktion nollakohtia) on siis vain yksi kappale, joten ratkaisujoukko on varmasti numeroituva.
Erotusfunktio ei siis voi vaihtaa merkkiään, joten joko
f(a,b) = 0 kaikkialla avaruudessa RxR.
Kumpi näistä ehdoista sitten toteutuu, sen päättelemiseen riittää yksi esimerkki
f(1,1)= 1^2 (1/2)*1^2-1*1=1/2
Siis f(a,b) >= 0 kaikkialla avaruudessa RxR ja a^2-(1/2)b^2 >= ab kaikilla muuttujien a ja b reaalilukuarvoilla.
Huom. Varoituksen sana lienee paikallaan. Ylioppilastutkinnossa yliopistomatematiikan tulosten hyödyntäminen on erittäin riskaabelia, vaikka ratkaisu onnistuisikin näin huomattavan helposti. Muistaakseni taannoin hylättiin erään abin tehtävsuoritus L'Hospitalin säännön käytön vuoksi. Kirjoituksissa kannattaa pyrkiä ratkaisemaan tehtävät lukiomatematiikan tarjoamin keinoin.
Tietääkseni siellä on hylätty myös olympiavalmennuksen tuloksia. Kuulemani mukaan yksi abi ei saanut täysiä pisteitä vedottuaan kahden positiivisen luvun aritmeettis-geometriseen epäyhtälöön (a b)/2 on ainakin sqrt(ab). Toisaalta Gaussin-Jordanin menetelmällä sain yhdestä tehtävästä täydet kuusi pistettä.