Etsi ne positiiviset kokonaisluvut, jotka toteuttavat yhtälön (x^2 2x 3)/x-3 ja, että lauseke supistuu posiitiviseksi tai negatiiviseksi kokonaisluvuksi.
Helppo tehtävä
idiota
587
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
(x^2 2x 3)/x-3 = x 2 3/x-3
Jos x on positiivinen kokonaisluku, on lauseke kokonaisluku jos ja vain jos 3/x on kokonaisluku (koska muut yhteenlasekettavat, x, 2 ja -3 ovat kaikki kokonaislukuja).
Ainoat positiiviset kokonaisluvut, joilla tämä toteutuu ovat 1 ja 3.
Vai tarkoititko ehkä kuitenkin lauseketta (x^2 2x 3)/(x-3), joka ei ole ihan niin triviaali?
Jos tarkoitit, ratkeaa se samalla logiikalla - hankkiutumalla eroon termeistä, joissa on x sekä jaettavana että jakajana.
Etsitään sellainen (x a), että (x-3)(x a) = x^2 2x b. Helposti nähdään, että a=5 toimii. Koska (x-3)(x 5) = x^2 2x-15, on:
(x^2 2x 3)/(x-3) = (x^2 2x-15 18)/(x-3) = x 5 18/(x-3)
Kun x on positiivinen kokonaisluku, on x 5 kokonaisluku. 18 on jaollinen luvuilla -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9 ja 18, joten x-3 pitää olla jokin näistä. Kysyttyjä positiivisia kokonaislukuja x ovat siis: 1, 2, 4, 5, 6, 9, 12 ja 21.
(x^2 2x-15 18)/(x-3) = x 5 18/(x-3) mitä tämän välivaiheissa tapahtuu? Ja miten näit heti että (x-a) x=5
Tuossa siis laskettiin jakolasku (x^2 2x 3)/(x-3) niin, että tuloksena on 'kokonaislukuosa', se osa, mikä on jaollinen (x-3):lla ja sitten jakojäännös, muotoa a/(x-3). Näin lopputulokseen ei jää termejä, joissa on x sekä viivan ylä että alapuolella.
Tuollainen jakolasku onnistuu niin, että etsitään kertolasku, minkä lopputuloksena on alkuperäinen jaettava plus tai miinus joku vakio (se jakojäännös), eli x^2 ja x -termien pitää olla tuloksessa samat.
Siispä etsitään sellaista kerrointa (x a), joka kerrottuna jakajalla, (x-3):lla tuottaisi polynomin muotoa x^2 2x n.
Yleisesti ottaen kertolasku (x a)(x b) = x^2 (a b)x ab. Kun halutaan tulos x^2 2x n, pitää a b=2. Meidän tapauksessamme, kun toinen kertoja on (x-3), pitää toisen olla (x 5), koska 5-3=2.
(x-3)(x 5) = x^2 2x-15. Kirjoitettuna jakolaskuksi, eli tulokseksi mitä oikeasti tarvitsemme, tämä tarkoittaa että (x^2 2x-15)/(x-3)=x-5.
Sitten se itse jakolasku:
(x^2 2x 3)/(x-3) = (x^2 2x-15 18)/(x-3) = (x^2 2x-15)/(x-3) 18/(x-3)
Tuon viimeisen vaiheen jätin siis tuosta alkuperäisestä vastauksesta pois. Ja kuten äsken laskimme, tuo alkuosa (x^2 2x-15)/(x-3)=x 5, eli:
(x^2 2x-15)/(x-3) 18/(x-3) = x 5 18/(x-3)
Toivottavasti tämä selvensi.
Korjataan nyt vielä tuo virhe, mikä tuonne oli lipsahtanut. Kirjoitin:
"(x-3)(x 5) = x^2 2x-15. Kirjoitettuna jakolaskuksi, eli tulokseksi mitä oikeasti tarvitsemme, tämä tarkoittaa että (x^2 2x-15)/(x-3)=x-5."
Tuo viimeinen - on väärin. Ei siis x-5, vaan x 5.