Määritä ne luvut a, joille yhtälöllö ax^3 3^( -x) = 3 on tasan yksi ratkaisu x
(Lukion matikkakilpailu 1997)
(Lukion matikkakilpailu 1997)
Apua kilpailutehtävään
16+29
7107
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Idea on seuraava: Jos a ei ole nolla, sijoitetaan y=x^3, kerrotaan yhtälö puolittain y:llä saadaan kovasti toisen asteen yhtälön muotoinen lauseke. Diskriminantti auttaa selvittämään juurten lukumäärän. Toinen tapaus on se, jossa a=0.
Mitä hemmettiä??
http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/MAOL/1997/lukm97.pdf
a*3^x 3^(- x) = 3 a*(3^x)² - 3*3^x 1 = 0
Merkitään t = 3^x
at² - 3t 1 = 0
Tästä sitten ongelma lähtee ehkä aukeamaan.
(Tuon linkin takaa löytyvässä tehtävänannossa oli oudosti tyhjää tilaa tuossa toisessa eksponentissa, joten ap:n miinus voi olla oikein.)
Yllättävän helpontuntuisia tehtäviä nuo viisi, jos on kyseessä lukion loppukilpailu. Aikaakin 3 tuntia.
Kiitos avusta, nyt lähti tehtävä aukeamaan.
Muistelen että aikanani (60-luvulla) lukiolaisten matikkakilpailussa oli seuraavanalainen tehtävä: Kolmiolla on kaksi yhtä pitkää kulmanpuolittajaa. Osoita, että kolmio on tasakylkinen.
Vaikuttaa helpolta mutta yllättävän kinkkinen kun sitä alkaa pyöritellä. Tai sitten olen misaannut jonkin helpon tien.
Tämä on klassinen Steinerin–Lehmusin lause. Kaksi todistusta on annettu paperissa http://www.math.fau.edu/yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf sivuilla 16 ja 17.
Joo, noilla apupiirroksilla menee aika lyhyesti. Itse pyörittelin kosinilauseita aika pitkään ennen kuin sain aikaan ristiriidan, jos ei ole tasakylkinen.