Onko tälle tehtävälle toista tapaa osoittaa kuin suorakulmaisten kolmioiden avulla todeksi en ole saanut toista tapaa keksittyä.
Ympyrän halkaisijan toisesta päätepisteestä piirretään ympyrälle tangentti. Toisesta pääte pisteestä piirretään jänne, jonka kehän pisteeltä piirretään jatke, joka leikkaa tuon toisen pääte pisteen tangentin. Tämän jänteen kehän päätepisteeltä piirretään tangentti joka jakaa tuon tangentin ja jänteen jatkeen välisen osan kahtia. Osoita väite todeksi.
Ympyrän halkaisijan toisesta päätepisteestä piirretään ympyrälle tangentti. Toisesta pääte pisteestä piirretään jänne, jonka kehän pisteeltä piirretään jatke, joka leikkaa tuon toisen pääte pisteen tangentin. Tämän jänteen kehän päätepisteeltä piirretään tangentti joka jakaa tuon tangentin ja jänteen jatkeen välisen osan kahtia. Osoita väite todeksi.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Niin, mikä tuo väitteesi on?
Väite onj että nuo ohjeiden mukaan piirretyt tangentti ja jatke leikkaavat ja jakaa kerrotun janan kahtia,
Minä piirsin tämmösen, ja siitä lähdetään, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suorakulma
http://aijaa.com/J8Nceu
ei toi kyllä mitään todista a:n ja b:n pituuksista , toi pätee millä pituuksien suhteilla hyvänsä, mutta onko kuva edes oikein?
"Väitteestä päädyttiin faktaan, eli väite on tosi."
Tuo ei pidä paikkaansa. Nämä pitäisivät:
Faktasta päädyttiin väitteeseen, eli väite on tosi.
tai
Väitteestä päädyttiin epätoteteen, eli väite on epätosi.
Epätodesta voi päätyä mihin vain, myös toteen. Yksinkertainen esimerkki:
Väite: 0 = 1
Siispä: 1 = 0
Lasketaan kaksi yllä olevaa puolittain yhteen:
1 = 1, mikä on selvästi tosi.
Älkäähän, ystävät hyvät, tehkö asiaa yksinkertaista asiaa liian monimutkaiseksi.
Tuosta nimimerkin 'aeija' kuvasta on helppo päätellä, että oikealla alhaalla olevat pikkukolmiot ovat tasakylkisiä (kantoina kirjaimilla y ja c merkityt sivut) ja tästä väite jo seuraakin.
(Tasakylkisyyden voitte perustella vaikkapa merkitsemällä vasemmalla olevaa kärkikulmaa kirjaimella alpha ja päättelemällä muut kulmat.)
mutta kun sitä monimutkaiseksi tekemistä juuri pyydettiin. Aloittajalla oli tiedossa tämä yksinkertainen ratkaisu, ja kysyikin jotain muuta tapaa..
tuossa tehtävässa tolkkua, mikä sääntö pakottaisi nuo piirrettävät viivat ja tangentit johonkin sellaiseen asemaan, että jokin jana täsmälleen pakosti puolittuisi?
Puolittuu se. Kuvioon muodostuu kaksi paria yhdenmuotoisia kolmioita. Jos tuota ylempänä esitettyä kuvaa katsoo, ja merkitsee esim:
- vasemman puoleinen R = v
- oikeanpuoleinen R = u
- keskipisteestä toisen tangentin kehäpisteelle (kuvassa oikealle alas) piirretty säde = s
- toisen tangentin pätkä kehäpisteeltä ensimmäiselle tangentille = t
niin:
- kolmio vsx on yhdenmuotoinen kolmion atc kanssa ja
- kolmio ucs on yhdenmuotoinen kolmion byt kanssa
Yhdenmuotoisuudet seuraa suorista kulmista, joita ovat ua, xc, cy ja st. Kulma vs täytyy siis olla sama kuin kulma at, by = uc, tc = xs, xv = ca jne.
Koska v = u, seuraa yhdenmukaisuuksista ja yhteisistä sivuista, että a = b.
Tuossa aeijan "ratkaisussa" ei käytetä mitenkään hyväksi tietoa, että tuo jänteen päätepisteestä piirretty viiva on tangentti. Kun se otetaan huomioon, tulee sen tangentin osan pituudeksi, joka lähtee jänteen päätepisteestä ja päätyy tangenttien leikkauspisteeseen myös a. Tämän tiedon avulla väite voidaan osoittaa helposti.
Aloittajalle: tehävän voisi esittää selvemmin, esim: "Ympyrän halkaisijan yhdestä päätepisteestä piirretään ympyrälle tangentti. Toisesta päätepisteestä piirretään jänne, jonka jatke leikkaa mainitun tangentin. Jänteen ja kehän leikkauspisteestä piirretään ympyrälle toinen tangentti. Osoita että tämä tangentti jakaa kahteen yhtä pitkään osaan sen osan ensin mainitusta tangentista, joka on jänteen jatkeen ja tämän tangentin leikkauspisteen sekä ympyrän sivuamispisteen välissä.
Veilä selvemmin: muuta
"Toisesta päätepisteestä piirretään jänne, jonka jatke leikkaa mainitun tangentin."
muotoon
Toisesta päätepisteestä piirretään puolisuora, joka leikkaa mainitun tangentin.
http://aijaa.com/KvNAyB
On se vektorivääntö nyt tossa:
http://aijaa.com/bGiUMR
http://aijaa.com/J1svG0
Selityksiä:
Nuo kulmat, jotka tuossa on merkitty, perustuvat lauseeseen:
Ympyrän kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Kehäkulma on alfa ja sitä vastaava keskuskulma on 2alfa.
Tästä samasta lauseesta johtuu myös se alhaalla oleva suorakulma koska puoliympyrän (keskuskulma 180) sisältämä kehäkulma on suorakulma.
Se toinen alfa on itsestään selvyys, koska b:n pituus on R, ja sen päättyy ympyrän keskipisteeseen.
Pistetulojen yhteydessä tulee termejä cos(90-2alfa), jotka on muutettu heti sin(2alfaksi), lisäksi siinä oli se cos(90 alfa)= -sin(alfa), se tulee cosinin yhteenlaskukaavalla (cos(x y)=cosxcosy-sinxsiny)
(vieläkin kuviosta puuttuu v:n ja 2R:n välistä suoran kulman symboli)
Aika hankala oli.
Korjataan nyt tuo munaus, jos tätä vaikka joku yrittäisi ymmärtää.
Se alhaalla oleva suorakulma, siis a:n ja b:n välinen kulma on ympyrän tangentin ja säteen välinen kulma , eikä mikään puoliympyrän kehäkulma, mutta suorakulma kumminkin.
(Sitä puoliympyrän sisältämää kehäkulmaa tässä ei tarvita, eikä sitä siihen ole piirrettykään, sehän alkaisi ja päättyisi halkaisijan (2R) päätepisteisiin.)
mutta jos sen siihen kuitenkin piirtää, niin saadaan helposti: sin(alfa)=ru/v , ja kun ennestään oli ru=2sv*sin(alfa), niin =>1=2s=>s=½
tossa on nyt vielä sekin, ja tää on sitten käsitelty:
http://aijaa.com/a5iqqL
Tuo "yksi vain" ratkaisu on varmaan oikein mutta epäselvästi selostettu. Selkeämpää on jos nimetään eri pisteet kuviossa esim. seuraavasti:
O = ympyrän keskipiste
A = hakaisijan päätepiste, josta jänne lähtee
B = halkaisijan päätepiste, jossa ensimmäinen tangentti sivuaa ympyrää
C = jänteen toinen päätepiste ja toisen tangentin sivuamispiste
D = jänteen jatkeen ja ensimmäisen tangentin leikkauspiste
E = tangenttien leikkauspiste
Nyt kulma BAD = kulma BCE, koska ne ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia. Siten kulma ADB = kulma DCE, koska ne ovat edellä mainittujen yhtä suurten kulmien komplementtikulmia. Kolmio CED on siis tasakylkinen ja EC = ED. Koska CE = BE, seuraa väite.