Seuraavan epäyhtälön kanssa olen paininut viitisen tuntia. Onko olemassa helppoa tapaa ratkaista kynän ja paperin avulla?
Olkoon a reaaliluku, jolle a^5-a^3 a-3=0. Todista, että a kuuluu välille ](5*3^(1/5)-1)^(1/6),3^(1/3)[
Olkoon a reaaliluku, jolle a^5-a^3 a-3=0. Todista, että a kuuluu välille ](5*3^(1/5)-1)^(1/6),3^(1/3)[
Vastaukset 9
Vanhimmat
Bolzanon lause?
En ihan ymmärrä, miten Bolzano auttaa tässä tehtävässä, mutta tuo fgalkj:n ratkaisu taitaa toimia.
Ainakin niin sen pitäisi mennä, että lasketaan lausekkeen arvo välin kummassakin päätepisteessä. Niiden pitäisi olla erimerkkiset. Laskut voivat kylläkin vaatia runsaasti ruumiillista työtä. Laskimella tietysti saa likimääräisen tuloksien.
Olkoon välin oikeaanpuoleinen päätepiste b. Sijoitetaan se lausekkeeseen, ja saadaan:
b^5 b - 6 = 3b^2 b - 6. Tämä lauseke on positiivnen, kun b = 3^(1/3).
En tajua. Jos b=3^(1/3), niin b^5 b - 6 = 3b^2 b - 6. Mutta miten tuo johtaa todistukseen?
Tarkastele tuon funktion kulkua. Kun derivoit sen, huomaat että derivaatta > 0. Funktio on siis koko ajan kasvava ja sillä on yksi 0-kohta. Jos funktio saa erimerkkiset arvot annetun välin päätepisteissä, on tuo 0-kohta siinä välissä.
En ymmärrä, miten yhtälöstä a^5-a^3 a-3=0 seuraa yhtälö b^5 b - 6 = 3b^2 b - 6
Tarkastele tuon funktion kulkua. Kun derivoit sen, huomaat että derivaatta > 0. Funktio on siis koko ajan kasvava ja sillä on yksi 0-kohta. Jos funktio saa erimerkkiset arvot annetun välin päätepisteissä, on tuo 0-kohta siinä välissä.
Joo, näinhän se menee. Ongelmana tässä on se, että kun tuohon alkuperäiseen lausekkeeseen a^5-a^3 a-3 sijoittaa a = (5*3^(1/5)-1)^(1/6), saa:
((5*3^(1/5)-1)^(1/6))^5-((5*3^(1/5)-1)^(1/6))^3 (5*3^(1/5)-1)^(1/6)-3
Aika v-mäisen näköinen käsin laskettavaksi.
Onko totta, että jos a^5-a^3 a-3=0, niin a^6 1=a^2 3a 1/a 1/a 1/a. Jos on, niin raja (5*3^(1/5)-1)^(1/6) seuraa aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.