Topologian jatkokurssin koetehtävä

En osaa. Tuo tehtävä on aivan täyttä hepreaa!!!


Miksi vastasin????

Tuo kompaktius menee seuraavasti:

Koska T0:n avoin joukko on kompaktin joukon komplementti ja koska T:n kompaktit joukot ovat suljettuja, on komplementti avoin. Olkoon S=(X,T0) ja C S:n peite. Olkoon L kompakti joukko, missä S\L kuuluu C:hen. Tällöin L on joukkojen { S\K | S\K kuuluu C:hen } yhdisteen osajoukko. Koska joukot S\K ovat avoimia ja L kompakti, on olemassa äärellinen määrä joukkoja S\K jotka peittää L:n. Siis L on yhdisteen S\K1 unioni ... unioni S\Kj osajoukko joillakin C:n alkioilla S\K1,...,S\Kj. Siis S:n peitteellä C on äärellinen alipeite { S\L, S\K1,...,S\Kj }.

Olkoon (X,T) Hausdorffin avaruus ja määritellään T_0={tyhjä joukko} unioni {X\K:K kompakti (X,T):ssä}. Osoitetaan ensiksi, että T_0 on X:n topologia.

1. Selvästi tyhjä joukko kuuluu T_0:aan ja jos K on tyhjä joukko, on K kompakti. Siis X = X\{} = X\K kuuluu T_0:aan.

2. Osoitetaan, että jos O_1 ja O_2 ovat T_0:n alkioita, niin niiden leikkauskin kuuluu T_0:aan. Voidaan olettaa, että O_1 ja O_2 ovat epätyhjiä. Siten O_1 = X\K_1, O_2 = X\K_2 missä K_1 ja K_2 ovat kompakteja avaruudessa (X,T). Nyt K=K_1 unioni K_2 on kompakti avaruudessa (X,T), joten de Morganin laista seuraa, että X\K = X\(K_1 \/ K_2) = (X\K_1) /\ (X\K_2) = O_1 /\ O_2, joten se kuuluu T_0:aan.

3. Osoitetaan, että jos O_i (i kuuluu indeksijoukkoon I) kuuluu T_0:aan, niin niiden yhdistekin kuuluu: Hylätään ensiksi tyhjät joukot, jolloin O_i=X\K_i, missä K_i on kompakti avaruudessa (X,T). Nyt K = /\_i K_i on suljettu, koska kompaktit joukot ovat suljettuja Hausdorffin avaruuksissa. Edelleen K on kompaktin joukon K_i osajoukko (kullakin kiinteällä i), joten K on kompakti. Jälleen de Morganista seuraa, että \/_i O_i = \/_i (X\K_i) = X\( /\_i K_i) = X\K, joka kuuluu T_0:aan.

Osoitetaan sitten karkeus. Jos K on kompakti avaruudessa (X,T), niin K on suljettu (seuraa Hausdorffista). Siten X\K on avoin. Siten kaikki T_0:n alkiot ovat avoimia T:ssä, joten T_0 on karkeampi kuin T.

Kompaktius: Otetaan avaruuden (X,T_0) mielivaltainen avoin peite O_i (i kuuluu I:hin). Heitetään jälleen tyhjät joukot yli laidan, joten oletetaan, että O_i:t ovat muotoa X\K_i missä K_i on kompakti. Valitaan mielivaltainen X\K_j näistä joukoista jollakin kiinteällä j. Koska K_j on kompakti avaruudessa (X,T) ja joukot O_i ovat avoimia joukossa (X,T) ja peittää K_i, niin erityisesti äärellisen moni O_{j_1},..,O_{j_n} peittää K_i:n- Siis O_i=X\K_i unioni O_{j_1},...,O_{j_n} peittää koko X:n. Siten kysytty äärellinen osapeite on löytynyt.