Rupesin huvikseni laskeskelemaan, kuinka suuressa kulmassa horisontista näkyy Helsingissä lähin Inmarsat-järjestelmän satelliitti. Se sijaitsee geostationaarisella radalla (muistelen että 36 000 km korkeudessa päiväntasaajan yllä) Afrikan kohdalla ja jokseenkin samalla pituusasteella kuin Helsinki.
Merkitään sitä kohtaa Afrikassa, jonka zeniitissä satelliitti on A:lla.
Helsinkiä merkitään kirjaimella H.
Merkitään Maan keskipistettä kirjaimella K.
Matka A:sta H:hon on maanpintaa myöten mitattuna 6 700 km, joten tehdään kohtuullinen oletus, että vastaava matka "myyräntietä" sattuu olemaan sama kuin maapallon säde eli 6 360 km.
Saadaan tasasivuinen kolmio K - A - H. Kaikki kulmat siis 60 astetta.
Kun piirretään Maan tangentti kohtaan H, se leikkaa suoran K - A - Inmarsat kohdassa B. Saadaan kolmio, jonka kulmat ovat 90 ja 60 ja 30 astetta. Suora H - B on tämän 30 ast kulman viereinen kateetti, ja vastainen kateetti onkin K - H, joka on 6 360 km. pitkä. Suora H - B on 6 360 km./ tan(30) eli 11 100 km. Ai niin, A - B on välttämättä 6 360 km, jotta K - B olisi (K - H)/sin(30).
Suora B - Inmarsat on 36 000 km - 6 360 km = 33 640 km.
Nyt meillä on kolmio H - B - Inmarsat, jossa sivu H - B on 11 100 km., sivu B - Inmarsat on 33 640 km. ja näiden sivujen kulma on 180 - 30 = 150 astetta. Piirretään pisteestä B jana kohtisuoraan sivua H - Inmarsat vasten, jolloin saadaan kaksi suorakulmaista kolmiota. Nimitetään näitä terävän kulman mukaan kolmioksi h ja kolmioksi i. Näihin pätee että h i=30 astetta ja sin(h)=sin(i)/3, koska molemmissa kolmioissa terävän kulman vastainen sivu on sama, mutta viereiset sivut ovat 11 100 ja 33 640 eli pyöristetään niiden suhde -> 1:3.
Se kulma h onkin sitten se, mitä haetaan (montako astetta Helsingin horisontin yläpuolella näkyy Inmarsat-satelliitti). Ja sen laskemiseen minulla ei ole muuta keinoa, kuin ruveta kokeilemaan tällä Microsoftin laskurilla erilaisia kombinaatioita. Siihen täytyy olla joku fiksumpikin keino, ja itse asiassa uskon että koko ongelmaan on olemassa joku paljon fiksumpi lähestymistapa.
Voisiko joku auttaa minua vaikkapa pian koittavan 70-vuotissynttärini kunniaksi laskemaan tuon arvon, eli mikä on se kulma Helsingin horisontin yläpuolella, jossa tämä satelliitti näkyy. En tiedä miten edesmennyt lukion matematiikan opettajani Yrjö Repo suhtautuisi näihin fundeerauksiini näin viitisen kymmentä vuotta sen jälkeen, kun olen käyttänyt hänen opettamiaan trigonometrisiä funktioita edellisen kerran :-D.
Merkitään sitä kohtaa Afrikassa, jonka zeniitissä satelliitti on A:lla.
Helsinkiä merkitään kirjaimella H.
Merkitään Maan keskipistettä kirjaimella K.
Matka A:sta H:hon on maanpintaa myöten mitattuna 6 700 km, joten tehdään kohtuullinen oletus, että vastaava matka "myyräntietä" sattuu olemaan sama kuin maapallon säde eli 6 360 km.
Saadaan tasasivuinen kolmio K - A - H. Kaikki kulmat siis 60 astetta.
Kun piirretään Maan tangentti kohtaan H, se leikkaa suoran K - A - Inmarsat kohdassa B. Saadaan kolmio, jonka kulmat ovat 90 ja 60 ja 30 astetta. Suora H - B on tämän 30 ast kulman viereinen kateetti, ja vastainen kateetti onkin K - H, joka on 6 360 km. pitkä. Suora H - B on 6 360 km./ tan(30) eli 11 100 km. Ai niin, A - B on välttämättä 6 360 km, jotta K - B olisi (K - H)/sin(30).
Suora B - Inmarsat on 36 000 km - 6 360 km = 33 640 km.
Nyt meillä on kolmio H - B - Inmarsat, jossa sivu H - B on 11 100 km., sivu B - Inmarsat on 33 640 km. ja näiden sivujen kulma on 180 - 30 = 150 astetta. Piirretään pisteestä B jana kohtisuoraan sivua H - Inmarsat vasten, jolloin saadaan kaksi suorakulmaista kolmiota. Nimitetään näitä terävän kulman mukaan kolmioksi h ja kolmioksi i. Näihin pätee että h i=30 astetta ja sin(h)=sin(i)/3, koska molemmissa kolmioissa terävän kulman vastainen sivu on sama, mutta viereiset sivut ovat 11 100 ja 33 640 eli pyöristetään niiden suhde -> 1:3.
Se kulma h onkin sitten se, mitä haetaan (montako astetta Helsingin horisontin yläpuolella näkyy Inmarsat-satelliitti). Ja sen laskemiseen minulla ei ole muuta keinoa, kuin ruveta kokeilemaan tällä Microsoftin laskurilla erilaisia kombinaatioita. Siihen täytyy olla joku fiksumpikin keino, ja itse asiassa uskon että koko ongelmaan on olemassa joku paljon fiksumpi lähestymistapa.
Voisiko joku auttaa minua vaikkapa pian koittavan 70-vuotissynttärini kunniaksi laskemaan tuon arvon, eli mikä on se kulma Helsingin horisontin yläpuolella, jossa tämä satelliitti näkyy. En tiedä miten edesmennyt lukion matematiikan opettajani Yrjö Repo suhtautuisi näihin fundeerauksiini näin viitisen kymmentä vuotta sen jälkeen, kun olen käyttänyt hänen opettamiaan trigonometrisiä funktioita edellisen kerran :-D.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Siis _hypotenuusat_ ovat 11 100 km ja 33 640 km. Voi tätä vanhuutta...
Haarukoin joutessani tuon kulman. Sain tulokseksi, että Inmarsat-satelliitti näkyy Helsingissä n. 7,2 astetta horisontin yläpuolella. Liekö suunniilleen oikein, eli onko tuo suunnilleen se kulma, johon tv-satelliittilautasetkin suunnataan?