Sivistyssanan "analyysi" kantana on kreikan "analysis", joka merkitsee 'erittelyä'. Esimerkiksi kemiallisessa analyysissä seoksesta pyritään erottelemaan ne kemialliset yhdisteet, joista seos koostuu. Vastaavasti voitaisiin kuvitella matemaattisen analyysiin tarkoittavan jonkin ongelman tutkimista matemaattisin keinoin. Matemaattisella analyysillä tarkoitetaan kuitenkin yhtä matematiikan tärkeimmistä aloista, differentiaali- ja integraalilaskentaa. Matemaattiselle analyysille on luonteenomaistaderivaatan ja integraalin käyttö. Muita matematiikan pääaloja ovat muun muassa algebra, geometria, matemaattinen logiikka ja todennäköisyyslaskenta.
Lyhyt katsaus matematiikan historiaan valottaa sitä, miksi sanaparia "matemaattinen analyysi" käytetään juuri niin kuin käytetään. Antiikin Kreikan matemaatikot tarkoittivat monimutkaisen geometrisen piirroksen analysoinnilla piirroksen jakamista pienempiin osiin, jotta kuvan rakenne selviäisi. Rooman vallan hajottua matematiikan tutkimus alkoi taantua Euroopassa, ja suuri osa kreikkalaisten perinnöstä unohtui keskiajalla. Toisaalta geometrian dominoivan aseman väistyttyä muut matematiikan alat, kuten aritmetiikka ja algebra, pääsivät kehittymään. Esimerkkinä mainittakoon, että LEonardo Fibonacci esitteli tunnetun lukujononsa (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) 1200-luvun lopussa. Eurooppalaiset omaksuivat keskiajalla intialaisen numerojärjestelmän ja symboliset merkinnät paranivat vähitellen.
Uuden ajan alussa matematiikka alkoi nopeasti toipua keskiaikaisesta taantumastaan. Kreikkalaisten matemaatikoiden kirjoitukset olivat kulkeutuneet hellenistisen kulttuurin mukana islamilaisen kulttuurin vaikutuspiiriin, missä ne säilyivät ja mistä ne myöhemmin kulkeutuivat takaisin Eurooppaan. 1500- ja 1600-luvuilla käännettiin Eukleideen, Heronin, Apollonioksen ja Arkhimedeen kirjoituksia latinaksi ja muillekin kielille. Antiikin geometrian taso ja päättelyn johdonmukaisuus herätti kunnioitusta, joten tuon ajan matemaatikot jäljittelivät kreikkalaisen esityksen muotoa ja tyyliä. Matemaattisen tutkimuksen aiheeksi geometria sopii myös siksi, että tähtitiede oli edistynyt Galileo Galilein ja Johannes Keplerin ansiosta harppauksittain. Sellaiset geometriset tehtävät kuten käyrän tangentin määrittäminen ja alueen pinta-alan laskeminen esiintyivät luonnollisessa yhteydessä planeettojen ratakäyriä ja nopeusvektoreita tutkittaessa. Kepler osoitti, että planeetan ratakäyrä on ellpisi ja että Auringosta kiertävään planeettaan piirretty vektori pyyhkii yhtä pitkinä aikoina yhtä suuret alat.
Kreikkalaisten ihannoinnissa mentiin niin pitkälle, että kirjoittaessaan mekaniikan perusteita selittävää teosta "Philosophiae naturalis principia mathematica" Isaac Newton hylkäsi kehittämänsä differentiaali- ja intergraalilaskennan käsitteet ja perusteli tuloksensa täysin geometrisesti. Ei olekaan ihme, että kreikkalaisten matemaatikoiden käyttämä analysis esiintyy muun muassa Newtonin julkaisussa "Analysis per quantitatum series, fluxiones" ja Gottfried Leibnizin kirjoituksessa "Analysis tetragonistica excentrobarycis". Myöhemmin matemaatikoiden kielenkäytössä analyysi on siirtynyt merkitsemään 1600-luvun vireintä matematiikan alaa eli differentiaali- ja integraalilaskentaa.
Derivaatan ja integraalin keksijöinä pidetään Leibnizia ja Newtonia. Loppujen lopuksi kyse on kuitenkin monen matemaatikon työn huipennuksesta, sillä jo aiemmin käytettiin sujuvasti kreikkalaisten geometriaa ja kehitettiin menetelmiä muun muassa funktion suurimman ja pienimmän arvon sekä pinta-alojen määrittämisen erityistapauksissa. Niinpä esimerkiksi Galileon oppilas Bonaventura Cavalieri käytti Arkhimedeen tyhjennysmenetelmää pinta-alojen määrityksiin ja Pierre de Fermat määritti funktion ääriarvoja periaatteessa derivaatan nollakohtia etsimällä. Descartes loi analyyttisen geometrian mikä helpotti geometrisia tarkasteluja huomattavasti. John Wallis tarkasteli äärettömän ja infinitesimaalin käsitteitä. Newtonin opettaja Isaac Barrow määritti käyrien tangentteja ja käyrien rajaamien alueiden aloja. Näille matemaatikoille oli tuttua se idea, että tasoalueen pinta-ala saadaan summaamalla y-akselin suuntaisia janoja, vaikkakin oli kiistanalaista, miten tämä voidaan muotoilla täsmällisesti. Newtonin ja Leibnizin osuutta korostetaan ennen kaikkea siksi, että he kehittivät yhtenäisen metodin, jonka avulla yllä lueteltuja matemaattisia tehtäviä voidaan ratkaista. He havaitsivat myös derivaatan ja intergaalifunktion kääntyneisyyden. Niinpä derivaattaa voidaan käyttää hyväksi integraalin tutkimisessa ja integraalin avulla voidaan laskea paitsi pinta-aloja, myös tilavuuksia. Leibniz ja Newton antoivat sysäyksen voimakkaalle matematiikan kehitykselle.
Lyhyt katsaus matematiikan historiaan valottaa sitä, miksi sanaparia "matemaattinen analyysi" käytetään juuri niin kuin käytetään. Antiikin Kreikan matemaatikot tarkoittivat monimutkaisen geometrisen piirroksen analysoinnilla piirroksen jakamista pienempiin osiin, jotta kuvan rakenne selviäisi. Rooman vallan hajottua matematiikan tutkimus alkoi taantua Euroopassa, ja suuri osa kreikkalaisten perinnöstä unohtui keskiajalla. Toisaalta geometrian dominoivan aseman väistyttyä muut matematiikan alat, kuten aritmetiikka ja algebra, pääsivät kehittymään. Esimerkkinä mainittakoon, että LEonardo Fibonacci esitteli tunnetun lukujononsa (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) 1200-luvun lopussa. Eurooppalaiset omaksuivat keskiajalla intialaisen numerojärjestelmän ja symboliset merkinnät paranivat vähitellen.
Uuden ajan alussa matematiikka alkoi nopeasti toipua keskiaikaisesta taantumastaan. Kreikkalaisten matemaatikoiden kirjoitukset olivat kulkeutuneet hellenistisen kulttuurin mukana islamilaisen kulttuurin vaikutuspiiriin, missä ne säilyivät ja mistä ne myöhemmin kulkeutuivat takaisin Eurooppaan. 1500- ja 1600-luvuilla käännettiin Eukleideen, Heronin, Apollonioksen ja Arkhimedeen kirjoituksia latinaksi ja muillekin kielille. Antiikin geometrian taso ja päättelyn johdonmukaisuus herätti kunnioitusta, joten tuon ajan matemaatikot jäljittelivät kreikkalaisen esityksen muotoa ja tyyliä. Matemaattisen tutkimuksen aiheeksi geometria sopii myös siksi, että tähtitiede oli edistynyt Galileo Galilein ja Johannes Keplerin ansiosta harppauksittain. Sellaiset geometriset tehtävät kuten käyrän tangentin määrittäminen ja alueen pinta-alan laskeminen esiintyivät luonnollisessa yhteydessä planeettojen ratakäyriä ja nopeusvektoreita tutkittaessa. Kepler osoitti, että planeetan ratakäyrä on ellpisi ja että Auringosta kiertävään planeettaan piirretty vektori pyyhkii yhtä pitkinä aikoina yhtä suuret alat.
Kreikkalaisten ihannoinnissa mentiin niin pitkälle, että kirjoittaessaan mekaniikan perusteita selittävää teosta "Philosophiae naturalis principia mathematica" Isaac Newton hylkäsi kehittämänsä differentiaali- ja intergraalilaskennan käsitteet ja perusteli tuloksensa täysin geometrisesti. Ei olekaan ihme, että kreikkalaisten matemaatikoiden käyttämä analysis esiintyy muun muassa Newtonin julkaisussa "Analysis per quantitatum series, fluxiones" ja Gottfried Leibnizin kirjoituksessa "Analysis tetragonistica excentrobarycis". Myöhemmin matemaatikoiden kielenkäytössä analyysi on siirtynyt merkitsemään 1600-luvun vireintä matematiikan alaa eli differentiaali- ja integraalilaskentaa.
Derivaatan ja integraalin keksijöinä pidetään Leibnizia ja Newtonia. Loppujen lopuksi kyse on kuitenkin monen matemaatikon työn huipennuksesta, sillä jo aiemmin käytettiin sujuvasti kreikkalaisten geometriaa ja kehitettiin menetelmiä muun muassa funktion suurimman ja pienimmän arvon sekä pinta-alojen määrittämisen erityistapauksissa. Niinpä esimerkiksi Galileon oppilas Bonaventura Cavalieri käytti Arkhimedeen tyhjennysmenetelmää pinta-alojen määrityksiin ja Pierre de Fermat määritti funktion ääriarvoja periaatteessa derivaatan nollakohtia etsimällä. Descartes loi analyyttisen geometrian mikä helpotti geometrisia tarkasteluja huomattavasti. John Wallis tarkasteli äärettömän ja infinitesimaalin käsitteitä. Newtonin opettaja Isaac Barrow määritti käyrien tangentteja ja käyrien rajaamien alueiden aloja. Näille matemaatikoille oli tuttua se idea, että tasoalueen pinta-ala saadaan summaamalla y-akselin suuntaisia janoja, vaikkakin oli kiistanalaista, miten tämä voidaan muotoilla täsmällisesti. Newtonin ja Leibnizin osuutta korostetaan ennen kaikkea siksi, että he kehittivät yhtenäisen metodin, jonka avulla yllä lueteltuja matemaattisia tehtäviä voidaan ratkaista. He havaitsivat myös derivaatan ja intergaalifunktion kääntyneisyyden. Niinpä derivaattaa voidaan käyttää hyväksi integraalin tutkimisessa ja integraalin avulla voidaan laskea paitsi pinta-aloja, myös tilavuuksia. Leibniz ja Newton antoivat sysäyksen voimakkaalle matematiikan kehitykselle.
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.