Tässä tulee kompleksiluvusta lyhyt opetus, kun se vähän tuntuu velvollisuudelta. Toivottavasti tämä vähentää turhaa keskustelua.
Moni on ihmetellyt, miten kompleksilukulaskennassa voi olla x^2 negatiivinen luku. Se liittyy siihen, että imaginääriyksikölle i pätee i^2=-1. Tämä on suoraa seurausta kompleksiluvun formaalista määritelmästä: kompleksiluvulle määritellään yhteenlasku ja kertolasku. Yhteenlasku on simppeli, mutta kertolasku määritellään poikkeuksellisella tavalla. Kertolaskuthan saa määritellä vaikka äärettömällä eri tavalla, mutta kompleksiluvulle se määritellään siten, että se on täydellisessä sopusoinnussa luonnonlakien kanssa, esim. kvanttimekaniikan ja sähkömagnetismin kanssa.
Kompleksiluku määritellään järjestettynä parina
x=(a,b),
missä
a ja b ovat reaalilukuja ja a:ta kutsutaan reaaliosaksi ja b:tä kutsutaan imaginääriosaksi.
Olkoon x=(a,b) ja y=(c,d), jolloin kertolasku määritellään
x * y = (a,b) * (c,d) = (ac-bd,bc ad)
= ac-bd (bc ad)*i
Jotta tämän muistaa, niin se lähtee siitä, että pitää muistaa, että määritelmästä seuraa i^2=-1.
Siis pitää olla
(0,1) * (0,1) = (-1,0)
eli
a=0
b=1
c=0
d=1
Aluksi kannattaa päntätä päähän (ainakin minä olen itse päntännyt), että aluksi reaaliosalle on olemassa termi
ac- jotain
Tämä "jotain" onkin varmasti loput kertoimet eli
bd,
jolloin
ac-bd = 0*0 - 1*1 = -1
mikä onkin haluttu tulos.
Imäginääriyksikön tulee olla 0. Pitää olla siis (taas ajatellaan, että kun reaaliosassa on "-", niin imäginääriosassa on " ")
0 * 1 0 * 1 = 0
ja kun ajatellaan, että se poikkeaa kertolaskuoperaatiosta ac-bd, jolloin saadaan varsin helposti
bc = 1*0=0
ad = 0*1=0.
Toivottavasti tästä opetuksesta oli jotain hyötyä. Ainakin lukion pitkän matematiikan opiskelijat ymmärtäisivät tämän.
Moni on ihmetellyt, miten kompleksilukulaskennassa voi olla x^2 negatiivinen luku. Se liittyy siihen, että imaginääriyksikölle i pätee i^2=-1. Tämä on suoraa seurausta kompleksiluvun formaalista määritelmästä: kompleksiluvulle määritellään yhteenlasku ja kertolasku. Yhteenlasku on simppeli, mutta kertolasku määritellään poikkeuksellisella tavalla. Kertolaskuthan saa määritellä vaikka äärettömällä eri tavalla, mutta kompleksiluvulle se määritellään siten, että se on täydellisessä sopusoinnussa luonnonlakien kanssa, esim. kvanttimekaniikan ja sähkömagnetismin kanssa.
Kompleksiluku määritellään järjestettynä parina
x=(a,b),
missä
a ja b ovat reaalilukuja ja a:ta kutsutaan reaaliosaksi ja b:tä kutsutaan imaginääriosaksi.
Olkoon x=(a,b) ja y=(c,d), jolloin kertolasku määritellään
x * y = (a,b) * (c,d) = (ac-bd,bc ad)
= ac-bd (bc ad)*i
Jotta tämän muistaa, niin se lähtee siitä, että pitää muistaa, että määritelmästä seuraa i^2=-1.
Siis pitää olla
(0,1) * (0,1) = (-1,0)
eli
a=0
b=1
c=0
d=1
Aluksi kannattaa päntätä päähän (ainakin minä olen itse päntännyt), että aluksi reaaliosalle on olemassa termi
ac- jotain
Tämä "jotain" onkin varmasti loput kertoimet eli
bd,
jolloin
ac-bd = 0*0 - 1*1 = -1
mikä onkin haluttu tulos.
Imäginääriyksikön tulee olla 0. Pitää olla siis (taas ajatellaan, että kun reaaliosassa on "-", niin imäginääriosassa on " ")
0 * 1 0 * 1 = 0
ja kun ajatellaan, että se poikkeaa kertolaskuoperaatiosta ac-bd, jolloin saadaan varsin helposti
bc = 1*0=0
ad = 0*1=0.
Toivottavasti tästä opetuksesta oli jotain hyötyä. Ainakin lukion pitkän matematiikan opiskelijat ymmärtäisivät tämän.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Oikeastaanhan kompleksilukujen kertolasku määritellään niin kuin se tehdään siksi, että se toteuttaisi samat laskulait kuin reaalilukujen kertolasku. Se, että kompleksiluvilla on sovelluksia esim. sähkömagnetismissa tai kvanttimekaniikassa, huomattiin vasta myöhemmin.
Karkeasti ottaen kompleksiluvuilla siis lasketaan kuin tavallisilla reaaliluvuilla kunhan muistetaan, että i^2=-1. Tietysti sen osoittamiseksi, että tällainen lukujärjestelmä on hyvin määritelty, on kompleksiluvut konstruoitava jotekin. Eräs tapa on esittää ne reaalilukujen järjestettyinä pareina ja määrittelemällä laskutoimitukset formaalisti kuten edellä on tehty. Jos on opiskellut kuntalaajennusten teoriaa niin paremmin intuitiivista kuvaa kompleksiluvuista vastaava määrittelemä on ajatella kompleksiluvut jaottoman polynomin x^2-1 avulla saatavana reaalilukujen laajennuskuntana.
Joka tapauksessa kertolaskusääntö on helppo tarvittaessa johtaa (eikä sitä siis tarvitse muistaa ulkoa) käyttämällä osittelulakeja ja vaihdantalakeja sekä tietoa i^2=-1:
(a bi)(c di) = a(c di) bi(c di) = ac adi bci bd(i^2)=(ac-bd) (ad bc)i.
Äh, edellisessä postissa pitäisi olla "...jaottoman polynomin x^2 1 avulla saatavana reaalilukujen laajennuskunta"
Polynomi x^2-1=(x-1)(x 1) ei tietenkään ole jaoton reelilukujen yli.
Kompleksiluvut voi ajatella monella tapaa intuitiivisesti. Lähtökohtaisesti voi ajatella, että halutaan laajentaa reaalilukujen joukkoa (x² 1 = 0). En tiedä minkälainen matemaattinen prosessi se on, mutta epäilisin että kyseisen lähtökohdan seurausta on, että kompleksiluvut ovat muotoa z = a bi (eli lukupareja). Kun tämä laajennusprosessi on tehty, niin voimme hyödyntää kompleksilukujen tarjoamia laskennallisia mahdollisuuksia. En tiedä onko kukaan todistanut tai selittänyt miksi kompleksiluvuilla laskeminen on taloudellisempaa ja muutenkin tehokkaampaa.
Esimerkiksi Fourier'n muunnos on luultavasti tuhansia kertoja nopeampi laskea kompleksilukujen avulla kuin muuten. Kaiken lisäksi kun tarpeeksi ymmärtää kompleksilukuja, niin kysyinen kaava on helpompi mieltää kompleksimuodossa (tämä ei tosin vielä selitä sitä, miksi laskeminen on nopeampaa).
Muotoa z = a bi olevat kompleksiluvut voidaan esittää visuaalisesti tasona. Kompleksiluvuille pätee (seuraa reaalilukujen laajennusprosessista)
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1 = i⁰
i⁵ = i⁴ * i = i
i⁶ = i⁴ * i² = -1
Voidaan osoittaa, että kyseinen lukujono on jaksollinen valitsitpa minkätahansa potenssin. Samat luvut 1, i, -1, -i toistuvat siis aina. Kompleksiluvuilla on siis jaksollisia ominaisuuksia. Kun visualisoit kyseisen lukujonon kompleksitasossa, niin huomaat sen kiertävän ympyrämäisesti palaten aina samaan lähtöpisteeseen. Toisaalta voit myös kiinnittää jokaisen lukujonon termiin myös kulman reaaliakselin suhteen. Tämä kulmahan on muotoa n * 90°. Mikä erikoista, voit esittää kyseisen lukujonon laskukaavan myös yhteenlaskun avulla. Summaa kulma (90°) aina edelliseen kulmaan, tällöin voit liikkua kompleksitasolla vastaavalla tavalla.
Herää tietenkin kysymys, että mitä jos pienennämme kulmaa rajatta, mitä silloin tapahtuisi? Ratkaisuksi tulee eksponenttifunktio, jonka voi tietenkin määritellä kompleksiluvuille monella tapaa.
Yksi aika hieno todistus:
http://www.proofwiki.org/wiki/Euler's_Formula/Proof_4
Siinä tosin oletetaan että kompleksisen logaritmin derivaatta on 1 / z, mikä toisaalta vie koko maun todistuksesta.
Joka tapauksessa, kun laajennamme reaalilukujen joukkoa, niin saamme kompleksiluvut, joiden ehkä parhain ominaisuus on kompleksinen eksponenttifunktio. Matemaattisesti ajatellen kompleksiluvut kertovat meille myös, että ympyrä onkin vain eksponentiaalinen ilmiö. Eräällä tavalla siis kompleksitasolla ympyrä muodostuu kaaresta, jonka koordinaattien derivaatta on verrannollinen sen hetkisiin koordinaatteihin.
Toinen tapa esitellä kompleksiluvut ovat järjestetyt lukuparit. Määritellään kertolasku ja saadaan tulokseksi (0, 1) * (0, 1) = -1. Merkitään (0, 1) = i, siten i² = -1. Käy ilmi, että nämä järjestetyt lukuparit laajentavat reaalilukujen joukon, ts kertolasku (a, 0) * (b, 0) = a * b. Vaaditaan tietenkin muitakin ehtoja mutta kertolasku yksi tärkeimmistä.
Itse näen intuitiivisena lähtökohtana, että i = √-1. Saman asian voi tietenkin esittää yhtälönä. Kyse on kuitenkin -1:llä kertomisesta (180° kierto) ja tästä kun ottaa neliöjuuren niin saa 90° kierron.
"Esimerkiksi Fourier'n muunnos on luultavasti tuhansia kertoja nopeampi laskea kompleksilukujen avulla kuin muuten. Kaiken lisäksi kun tarpeeksi ymmärtää kompleksilukuja, niin kysyinen kaava on helpompi mieltää kompleksimuodossa (tämä ei tosin vielä selitä sitä, miksi laskeminen on nopeampaa)."
Sinällään varsin ymmärrettävää, kun ottaa huomioon, että se on kuvaus R^n->C^n...
Vähän kritiikkiä/kommenttia AP:n viestiin. Kompleksilukujen määritelmänä tuo periaatteessa toimii ihan hyvin, enkä nähnyt mitään järkyttävämpiä mokia (eli ei mielestäni syytä miinuspisteisiin?), mutta historia ei kyllä mennyt ihan kohdalleen; aluksihan kompleksiluvut otettiin käyttöön kolmannen (ei toisen, kuten usein virheellisesti esitetään) asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, ei suinkaan fysiikan tarpeisiin, vaikka ne siinä käytössä ovatkin äärimmäisen hyödyllisiä.
Muutenkin vastauksessa on vähän turhan absoluuttinen maku: Vaikka tuo järjestettyyn pariin nojaava määritelmä onkin ihan validi, se ei suinkaan ole ainoa määritelmä, eikä mitenkään ylivoimaisesti paras. Esimerkiksi eräs yleinen (mutta kuitenkin niin harvinainen, että siihen ei ensimmäisenä törmää) määritelmä käsittelee kompleksilukuja tietyntyyppisinä 2×2-matriiseina, jotka ovat sulkeutuineita kerto- ja yhteenlaskun suhteen.
Kaikkein yksinkertaisin tapa on ymmärtää kompleksiluvut reaali-akselin laajennoksena jolloin tulee im-koordinaattiakseli re-akselin lisäksi lukupisteen esitykseen.
Yhteenlasku määritellään kuten vektoreillekin eli intuitiivisesti.
Kertolaskussa "vektorin" pituudeksi tulee pituuksien tulo ja suunnaksi suuntakulmien summa.
Tämän jälkeen trigonometriaa apuna käyttäen on helppo osoittaa geometrinen määritlemä yhtäpitäväksi aksiomaattisen määritelmän kanssa.
Eli kannattaa ajatella lukuja geometrisesti.
Esim.
kompleksiluku 1 on pituudeltaan 1 ja muodostaa re-akselin kanssa 0 asteen kulman
kompleksikuku -1 on pituudeltaan 1 ja muodostaa 180 asteen kulman
Nyt luku i on pituudeltaan 1 ja muodostaa 90 asteen kulman
On helppo nähdä että ixi on pituudeltaan 1x1=1 ja kulmaksi tulee 90 90=180
eli saadaan luku -1. Siis i^2=-1
Kompleksilukujen geometrinen esitys on kyllä hyödyllinen (ja standardi) tapa havainnollistaa kompleksilukuja, mutta geometrinen kertolaskusääntö voi olla hankala motivoida ensi kertaa kompleksilukuihin törmäävälle. Tämän takia kompleksiluvut määritellään yleensä aluksi algebrallisesti, jonka jälkeen geometrinen kertolaskusääntö on todistuva lause.