Moikka ! Tarvitsisin kipeästi apua muutamassa vektorilaskussa. Tehtävät voivat vaikuttaa hitusen hankalilta, mutta olisin erittäin kiitollinen, mikäli saisin jonkinlaista vinkkiä/apua tehtävien ratkaisemiseksi. Tehtävänannot menevät siis seuraavasti:
1.. Vektori 8i-6j alkaa origosta. Tämä vektori kiertyy alkupisteensä ympäri vastapäivään 60 astetta. Mikä vektori näin saadaan ? (skalaarikomponentit likiarvoin ilmaisten 9.196i 3.928j). Vastauksena annettava tarkat arvot !
2.. Pisteestä P kolmion ABC kärkiin piirretyt vektorit ovat PA=a, PB=b ja viellä PC=C=3(b-a). Tehtävänä on lausua pisteestä P meidiaanin (keskijanan) AD keskipisteeseen Q piirretty suuntajana PQ vektoreiden a ja b avulla.
3.. Suunnikkaassa ABCD AB=9i-2j ja AD=3i 12j. Suunnikkaan sivulla DC on piste E siten, että DE:EC=3:1 ja piste F on sivun AD keskipiste. Missä suhteessa suuntajanojen BE ja CF leikkauspiste M nämä suuntajanat jakaa ?
4.. Tuuli puhaltaa koillisesta 10 m/s. Jos alus olisi merellä ankkurissa, kannella oleva merimies aistisi koillistuulen. Kun alus satelliittipaikantimen mukaan kuitenkin etenee 18 m/s vektorin -3i 4j suuntaan, niin mistä suunnasta (vektori) ja kuinka suurella vauhdilla (skalaari) merimies aistii tuulevan ? (Koko tuloksen voi tietenkin antaa vektorin avulla, joka hoitelee sekä tuulen suunnan että
suuruuden). Koordinaatistossa j osoittaa pohjoiseen ja i itään.
1.. Vektori 8i-6j alkaa origosta. Tämä vektori kiertyy alkupisteensä ympäri vastapäivään 60 astetta. Mikä vektori näin saadaan ? (skalaarikomponentit likiarvoin ilmaisten 9.196i 3.928j). Vastauksena annettava tarkat arvot !
2.. Pisteestä P kolmion ABC kärkiin piirretyt vektorit ovat PA=a, PB=b ja viellä PC=C=3(b-a). Tehtävänä on lausua pisteestä P meidiaanin (keskijanan) AD keskipisteeseen Q piirretty suuntajana PQ vektoreiden a ja b avulla.
3.. Suunnikkaassa ABCD AB=9i-2j ja AD=3i 12j. Suunnikkaan sivulla DC on piste E siten, että DE:EC=3:1 ja piste F on sivun AD keskipiste. Missä suhteessa suuntajanojen BE ja CF leikkauspiste M nämä suuntajanat jakaa ?
4.. Tuuli puhaltaa koillisesta 10 m/s. Jos alus olisi merellä ankkurissa, kannella oleva merimies aistisi koillistuulen. Kun alus satelliittipaikantimen mukaan kuitenkin etenee 18 m/s vektorin -3i 4j suuntaan, niin mistä suunnasta (vektori) ja kuinka suurella vauhdilla (skalaari) merimies aistii tuulevan ? (Koko tuloksen voi tietenkin antaa vektorin avulla, joka hoitelee sekä tuulen suunnan että
suuruuden). Koordinaatistossa j osoittaa pohjoiseen ja i itään.
Vastaukset 30
Vanhimmat
Tehtävä 1
- Muuta kulmamuotoon eli pituus ja kulma (napakordinaatisto),
- lisää 60 astetta
- muunna takaisin i,j -muotoon (suorakumainen koordinaatisto)
Voit laskea tuon ekatehtävän pistetulon avulla. Se on kosini vektorien välisestä kulmasta (60 astetta) kertaa vektorien pituuksien tulo (100). Toinen yhtälö tulee siitä, että kierron jälkeen saatavan vektorin pituus on myös 10.
Tuossa viimeisessä laivan nopeusvektori on 18(-3/5i 4/5)j).
Merimies aistii tuon vektorin vastavektorin verran vastatuulta, ja sitten lisää vielä se normituuli, eli 10(-i-j). Näiden summa on se kysytty hoitsuvektori.
normituuli=10*(-i/sqrt2-j/sqrt2)
Kakkostehtävää avautu ainakin i minulle näin
http://aijaa.com/oFj857
Pitää siisä päästä P:stä pisteeseen Q.
Eli PQ CD DQ
PQ=3*(b-c)
CD=½CB
DQ=½DA
AD=½*(AB AC) (kolmio muodostaa suunnikkaan puolikkaan ja suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa)
http://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram
AC=a-c
Vektorien suunnat pitää huomioida esim. AC:stä saa CA:n vaihtamalla erotusta c-a:ksi.
Periaate menee varmaan noin. On hiukan ruosteessa laskutaito.
Kolmostehtävässä ainakin voisi tehdä seuraavasti, mutta onko se järkevää, en osaa sanoa.
- Piiretään suorakulmio koordinaatistoon niin että A on origosa. Eli laitetaan pisteet B (9.-2) ja D (3,12)
- Määritellään pisteet.
- Lasketaan kaksi suoraa joista toinen kulkee pisteiden C ja F kautta ja toinen B ja E kautta.
- Lasketaan suorie leikkauspiste M
- Nyt kun tiedetään pisteet C,B,E ja F voidaan laskea niiden väliset etäisyydet koordinaatistossa
Oliiko joku elegantimpi tapa. Jos olisin nyt kokeissa niin yrittäisi tuota kautta kun en muuta nopeasti äkkäisi. (30 vuotta kun viimeksi laskin) Osaisiko joku kommnetoida?
Korjaan: ei suorakulmio vaan suunnikas. Sen(kin) voi piirtää kolmen pisteen perusteella (tai kahden vektorin virittämänä).
yhdellä vektoriyhtälöllä menee:
k*BE n*FC=BC
Pitäisikö tehdä kaksi yhtälöä koska on kaksi tuntematonta (k ja n)?
Vekoriyhtälössä on yhtälöpari, kun tuon yhtälön i:n ja j:n kertoimet asetetaan puuolittain samoiksi
Joo siinähän on oikeastaan i:n yhtälö ja j:n yhtälö. k ja n valitaan niin että molemmat komponentit matsaa yhtä aikaa. Ainakin periaatteessa sitten tajusin. Pitää vielä miettiä miten tuo teknisesti menee ("asetetaan puolittain samoiksi").
lisäksi voi ajatella myös että vektoreista BE ja FE muodostetaan uusi koordinaatisto, jossa voidaa määritellä yksiselitteisesti mikä tahansa vektori.
Lasketaan nyt sitä:
AB=DC=9i-2j
AD=BC=3i 12j
BE=3i 12j-(1/4(9i-2j))= (3/4)i (25/2)j
FC=½(3i 12j) 9i-2j=(21/2)i 4j
k*BE n*FC=BC
k*((3/4)i (25/2)j) n((21/2)i 4j)=3i 12j
(3/4k) (21/2n)=3
(25/2k) (4n)=12 =>n=2/9 ja k=8/9
FC jakautuu 2:7 ja BE jakautuu 1:8
Kiitos. Selkeätä tuo nyt on kun katsoo. Vaatii vaan lisää harjoitusta...
Tuo tehtävä 1 ratkeaa näppärästi tarkastelemalla vastaavaa probleemaa kompleksilukutasossa.
Vektoria 8i-6j vastaa kompleksiluku 8-6i.
Kierto 60 astetta vastapäivään saadaan aikaan kertomalla tämä kompleksiluvulla cos(60 deg) sin(60 deg)i=1/2 (sqrt(3)/2)i.
Tulokseksi saadaan
(1/2 (sqrt(3)/2)i)(8-6i)=(4 3sqrt(3)) (4sqrt(3)-3)i.
Tätä kompleksilukua vastaa vektori
(4 3sqrt(3))i (4sqrt(3)-3)j
Huom. Imaginääriyksikköä i, joka on kompleksilukuk, ei pidä tässä sekoittaa vektoriin i.
Pelkästään vektorioperaatioita käyttämällä lasku on hiukan hankalampi, mutta onnistuu vaikkapa kirjoittamalla yhtälöitä mm. pistetulon ominaisuuksien pohjalta.
ekassa on haluttu palauttaa muistiin, että vektorien (xi yj) ja (8i-6j) välinen pistetulo on pituuksien tulo*cos(välinen kulma), sekä niiden ristitulovektorin pituus on pituuksien tulo*sin(välinen kulma)
Voihan olla että on haluttu vain kiertää vektoria.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Rotaatio_(geometria)
Tuolla on kätevä kaava:
x' = x*cos(a) - y*sin(a)
y' = x*sin(a) y*cos(a)
Jossa a on kiertokulma ja vektori on muotoa xi yj (uusi vektori x'i y'j)
Tuo voisi ajatelle muodostetun laskemalla vektorille uudet projektiot kierrettyn koordonaatiston x ja y akseleille.
Jos taas käyttää kulmamuotoon muuttamista, niin se onnistuu trigonometrian kaavoilla (muodostetaan kolmio suorakulmaiseen koordinaatiston).
Paljon on vaihtoehtoja ekatehtävän ratkaisulle: vektorin pistetulo-ristitulo, kompleksilukuanalogia, napakoordinaastistoanalogia, trigonometrian soveltaminen, pytagoraan soveltaminen. Jo vähemmästäkin menee sekaisin.
Siksi mieletäni, kun tehtävänannossa pyydetään kiertämään vektoria, on vekrotin kiertäminen kulmamuodossa kaikkein selkein menetelmä.
Silloin ymmärtää mitä kiertäminen tarkoittaa.
Kiitokset vastaajille :)
Tehtävään 1 liittyen, ovatko annetut skalaarikomponentit tehtävän ratkaisu ?
Vektorien (xi yj) ja (8i-6j) välinen pistetulo on 8x-6y=10*10*cos60=50
Niiden ristitulovektori on -(6x 8y)k. Sen pituus on 6x 8y=10*10*sin60=50*sqrt3
Tuosta yhtälöparista saadaan x=(3sqrt3) 4, ja y=(4sqrt3)-3, ja kysytty vektori on
(3sqrt3) 4)i ((4sqrt3)-3)j, se on tehtävän ratkaisu
Ei nyt varsinaisesti liity tehtävänantoon, mutta miten desimaaliluvuista saa tarkan arvon ?
Itse laskin tehtävän trigonometriaa soveltaen.
1) i-akselin pituus oli 8 ja j-akselin pituus 6. Yhdessä vektorin 8i-6j kanssa nämä muodostavat suorakulmaisen kolmion, johon trigonometriaa voi soveltaa. Sin (8/10)=36.869... josta vähennetään 60 astetta vastapäivään kulkemisen mukaisesti.
2) Saamme kulmaksi likimäärin 23.130 astetta (muutettu positiiviseksi) ja tiedämme hypotenuusan (vektorin 8i-6j pituuden) jolloin voimme laskea vastaisen ja viereisen kateetin pituudet.
3) Saamme kateettien pituuksiksi annetut skalaarikomponentit 9.196i ja 3.928j.
4) Ratkaisemanne vastukset (3sqrt3 4)i (4sqrt3-3)j ovat skalaarikomponenttejen tarkat arvot. Kysymys kuuluunkin, miten saa kyseiset desimaaliluvut muutettua tarkkoihin arvoihin ? Tarvitsen tietoa, koska opettaja arvioi nämä tehtävät ja täysiin pisteisiin olisi tarkoitus pyrkiä. Omassa kirjasarjassani(Matematiikan Taito 1-2) ei kerrota tai anneta esimerkkejä neliöjuuren likiarvon muuttamisesta tarkkaan arvon. Pelkkä sanallinen kerronta riittää :)
Kiitokset viellä kerran kaikille vastaajille !
Älä laske sille kulmalle likiarvoa, vaan tarkka arvo. Sen tarkan arvon saa näillä:
sin(a b)=sin(a)cos(b) cos(a)sin(b)
cos(a b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
Nyt ensinnäkin sin(a) =6/10, (eikä 8/10)=3/5, joten cos(a)=sqrt(1-(9/25))=4/5
Sijoittamalla nuo tuohon yhtälöpariin saa sin(b)=(2/5sqrt(3))-3/10
Nyt sitten se kysytty y-komponentti saadaan y=sin(b)*10=4sqrt(3)-3
X-komponentti Pythagoraan lauseella, ja tulee sqrt(43 24sqrt(3)), joka on sama kuin edellä vektoreilla laskettu, vaikkei siltä näytäkään...
näkyy puuttuvan se tärkeä tieto, että a b=60
Joo, taisi tulla pieni ajatuskatko sinin kanssa :D mut kiitos kuiteskin :)
Tarkka arvo on sin(60) tai sqr(3)/2
Jos muistaa muutaman kolmion suhteet ja kulmat, saa arvot niistä.
Esim sin(60) tulee tasasivuisesta kolmiosta.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Tasasivuinen_kolmio
Tässä on taulukko
http://www.bymath.com/studyguide/tri/sec/tri3.htm
Taulukkokirjoista myös löytyy. Sellaista saattaa saada käyttää kokeissakin.
Muitakin menetelmiä voi olla.
Tuolla on määritelty kolmen asteen välein
http://math.la.asu.edu/~surgent/mat170/Exact_Trig_Values.pdf
Siis sitä tässä hain, että kuinka muutat desimaaliluvun 9.196... muotoon (3sqrt3) 4) ja desimaaliluvun 3.928... muotoon (4sqrt3)-3).
Käsittääkseni desimaalimuodosta ei enää mitenkään voi muuttaa tarkkaan muotoon.
(Jollei ole kysymyksessä jaksollinen esitys esim. 0,333..... tai 1,23232323....)