Insinöörikoulutuksen saanut pikkuveljeni pelasi tietokoneella pasianssia. Hetken pelailtuaan hän oli voittanut pelaamistaan 26 pelistä 17. Voittoprosentiksi ohjelma ilmoitti 65%. Asettaakseen jo aikuisiän saavuttaneelle opiskelevalle pojalleni pienen matemaattisen pähkinän, jonka hän itse oli jo yhtälöitä kirjoittamalla oikein ratkaissut, hän kysyi pojalta, montako peliä hänen pitäisi vielä peräjälkeen voittaa, jotta hänen voittoprosentikseen tulisi 80%. Poikani kirjoitti ongelman ratkaisemiseksi paperille matemaattiset yhtälöt, joissa tai joiden ratkaisemisessa hän kohtasi pieniä ongelmia. Itse kuuntelin tuota pohdiskelua hetken sivusta, kunnes intouduin kertomaan asian olevan hyvin yksinkertaisen. Jos tuossa lähtötilanteessa hävittyjä pelejä on 9, niin niitä pitäisi olla myös lopputilanteessa saman verran. Kun hävittyjä pelejä saisi olla vain 100% - 80% = 20 %, niin pelattuja pelejä tähän tarvittaisiin (100%/20%)*9=5*9=45. Mielestäni oma ratkaisuni oli hyvin käytännöllinen, eikä sen esittämiseen tarvittu minkäänlaisia yhtälöitä, saati sitten kynää tai paperia. Vain pientä päättelyä ja yksinkertaista päässälaskentaa. Omaan suoraviivaiseen päättelyyni en tarvinnut muutamaa sekuntia enempää. Hetken vielä yhtälöitä (muuttujalle x=pelattujen pelien määrä tms.) raapusteltuaan insinööriveljeni ja poikani päätyivätkin samaan ratkaisuun.
Itse jäin ihmettelemään sitä, miksi minä, pitkällisen matemaattisen koulutuksen saaneena (FL) ajattelin asiaa mielestäni paljon yksinkertaisemmin ja käytännöllisemmin kuin (ainakin periaatteessa käytännöllisemmän) insinöörin koulutuksen saanut pikkuveljeni.
Eikö yleinen stereotypia ole nimenomaan se, että me jonkinlaisen yliopistotaustan omaavat ihmiset olemme kaavoihimme kangistuneita ('me emme näe metsää puilta') ja insinöörit ovat paljon käytännöllisemmin suuntautuneita?
Kumpi ratkaisutapa on mielestänne sellainen, jollaisia pitäisi kouluissamme opettaa?
Onko aina pakko merkitä tuntemattomia muuttujia algebrallisilla symboleilla (vaikkapa tuntemattomalla suureella 'x') ja kirjoittaa paperille sitä koskevat yhtälöt, kuten kouluissamme opetetaan, vai ratkaista ongelmat yksinkertaisimmalla ja suoraviivaisimmalla tavalla?
Vai kelpaako suoraviivainen päättely?
Kummassakin tavassa on etunsa.
Suoraviivainen kansanomainen maalaisjärkeen perustuva päättely riittää kokemukseni mukaan yleensä yksinkertaisissa käytännön tilanteissa (kuten edellä kuvattu).
Yhtälöiden ja yhtälöryhmien kirjoittaminen määritellyille muuttujille antaa kuitenkin paremmat valmiudet ratkaista huomattavasti monimutkaisempia ongelmia(, joita tosin tavallinen sukankuluttaja ei yleensä päivittäisessä elämässään kohtaa).
Itse olen sitä mieltä, että matematiikan kouluopetuksen pitäisi ensisijaisesti kehittää oppilaiden valmiuksia matematiikan perusteiden käytännölliseen, luonnolliseen ja yksinkertaiseen ('intuitiiviseen') hyödyntämiseen.
Itse jäin ihmettelemään sitä, miksi minä, pitkällisen matemaattisen koulutuksen saaneena (FL) ajattelin asiaa mielestäni paljon yksinkertaisemmin ja käytännöllisemmin kuin (ainakin periaatteessa käytännöllisemmän) insinöörin koulutuksen saanut pikkuveljeni.
Eikö yleinen stereotypia ole nimenomaan se, että me jonkinlaisen yliopistotaustan omaavat ihmiset olemme kaavoihimme kangistuneita ('me emme näe metsää puilta') ja insinöörit ovat paljon käytännöllisemmin suuntautuneita?
Kumpi ratkaisutapa on mielestänne sellainen, jollaisia pitäisi kouluissamme opettaa?
Onko aina pakko merkitä tuntemattomia muuttujia algebrallisilla symboleilla (vaikkapa tuntemattomalla suureella 'x') ja kirjoittaa paperille sitä koskevat yhtälöt, kuten kouluissamme opetetaan, vai ratkaista ongelmat yksinkertaisimmalla ja suoraviivaisimmalla tavalla?
Vai kelpaako suoraviivainen päättely?
Kummassakin tavassa on etunsa.
Suoraviivainen kansanomainen maalaisjärkeen perustuva päättely riittää kokemukseni mukaan yleensä yksinkertaisissa käytännön tilanteissa (kuten edellä kuvattu).
Yhtälöiden ja yhtälöryhmien kirjoittaminen määritellyille muuttujille antaa kuitenkin paremmat valmiudet ratkaista huomattavasti monimutkaisempia ongelmia(, joita tosin tavallinen sukankuluttaja ei yleensä päivittäisessä elämässään kohtaa).
Itse olen sitä mieltä, että matematiikan kouluopetuksen pitäisi ensisijaisesti kehittää oppilaiden valmiuksia matematiikan perusteiden käytännölliseen, luonnolliseen ja yksinkertaiseen ('intuitiiviseen') hyödyntämiseen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Tuo ongelmahan on algebrallisesti helppo ratkaista.
Merkitsemme kysyttyä tarvittavien lisäpelien lukumäärää kirjaimella 'x'.
Pienen pohdiskelun jälkeen saamme kirjoitettua x:lle yhtälön ja ratkaistuakin sen:
(17 x)/(26 x) = 0,80
17 x = 0,80*(26 x)
17 x = 20,8 0,80*x
0,20*x = 3,80
x = 3,80/0,20 = 19.
Tarvittavien lisäpelien määrä on siis 19.
Pelattujen pelien kokonaismääräksi saadaan 26 19 = 45 kpl.
Eikä tähän tarvita mitään peruskoulun oppimäärän ylittävää ongelmanratkaisukykyä.
Eiköhän 'lisensiaatti' Sinisalo itse ajattele asiaa liian monimutkaisesti?
Itse olen matemaatikko enkä voisi olla enempää samaa mieltä Sinisalon kanssa! En pysty käsittämään miksi koulumatematiikassa ikäänkuin unohdetaan terve järki ja haudataan kaikki logiikka sekavaan ja oppilaille usein käsittämättömään symbolisotkuun. Mielestäni koulumatematiikan tunneilla pitäisi enemmän painottaa loogisen päättelyn merkitystä ja terveen järjen käyttöä ja vähemmän algebrallista pyöritystä. Saattaisi yllättäen matematiikka vaikuttaa oppilaidenkin mielestä kiinnostavammalta.
Aloitus oli erittäin hyvä. Koulussa (lukio erityisesti) pitäisi opettaa käytännön matemaattisia ongelmia. Esim. insinööritieteet, taloustiede ja tilastotiede ovat täynnä esimerkkejä, joihin voidaan soveltaa yksinkertaista matematiikkaa, joilla opiskelijoita voisi motivoida.
Minäkin olen matemaatikko ja sitä mieltä, että asiat tulisi ratkoa mahdollisimman yksinkertaisesti. Mutta tulisi pitää mielessä, että tuollaisilla yksinkertaisilla ongelmilla ei pärjää työelämässä. Saadakseen työtä pitäisi pystyä tuottamaan paljon uutta matematiikkaa. Toki tähän liittyy se, että vastaantulevat helpot tehtävät ratkaistaan sujuvasti.
Mutta käytännössä liian yksinkertaisista ratkaisuista ei ole haittaa kuin välillä YO-kokeessa.
Laskelmia yksinkertaistavat hoksaamiset ovat usein hyödyksi matematiikassa. Aloittajan esimerkissä se on, että lähdetään ratkaisemaan tehtävää hävittyjen pelien kautta, joka ei muutu. Laskelmaa ei silti tarvitse tehdä päässä vaan sen voi laskea myös algebrallisesti yhtälöllä
9/(26 x) = 0,2
mikä on hieman yksinkertaisempi kuin Ayattelyan yhtälö.
Veikkaan että aika harva meistä pärjäisi matikassa paljon kuinkaan ellei olisi tarjottu avuksi valmiiksi mietittyjä toimintamalleja. Yllättäviin tilanteisiin niitä malleja ei ole saatavissa kuin apteekin hyllyltä. Jos kaikki pitäisi kehittää ja keksiä itse niin ei hyvältä näyttäisi.
Peruskoulussa matematiikan pitäisi olla hyvin käytännöllistä. Esimerkiksi algebran voisi rajoittaa valmiiden kaavojen käyttöön ja niiden yksinkertaiseen manipulointiin. Näennäissovellukset, kuten ne kuuluisat toisiaan kohti ajavat autot, kannataisi jättää pois. Geometria voitaisiin ottaa puuceen rakentajan näkökulmasta. Laskimien ja tietokoneen käyttö pitää olla matematiikan opetuksessa jossain määrin mukana.
Periaatteessa matemaattisesti lahjakkaille oppilaille täytyisi olla peruskulussa omia valinnaisia lisakurseja, mutta se sotii muutamien puolueiden ideologiaa vastaan. Näiden puutteessa heidät voisi ohjata itseopiskeluun kirjojen ja internetin avulla.
Lukiossa lyhyen matematiikan pitäisi olla peruskoulun järeytetty versio. Lyhyen matematiikan opiskelijat tähtäävät lastentarhanopettajiksi, luokanopettajiksi, sairaanhoitajiksi, juristeiksi jne. Heille on turhaa yrittää opettaa varsinaista matematiikkaa, koska he muutenkin jo valmiiksi inhoavat sitä. Tietotekniikkan alkeet pitäisi olla heillä pakollisena ja sitä pitäisi käyttä aktiivisesti myös matematiikan opetuksessa. Se ehkä lisäisi motivaatiota.
Lukion pitkä matematiikka on ongelmallinen. Toisaalta pitäisi aloittaa jo laskutekniikan ja oikeankin matematiikan opetus todistuksineen. Toisaalta fysiikkan ja kemian vaatimukset pitää ottaa huomioon. Ehkä voitaisiin sanoa, että pitkän matematiikan pitäisi olla terästettyä insinöörimatematiikkaa. Siihen pitäisi sisällyttää myös alkeisnumeriikkaa ja optimointia sekä diskreettiä matematiikkaa (erityisesti verkostot). Silloin pitäisi tietysti joitakin muita kohtia karsia. Ongelmana on aina, että kurssit paisuvat liian laajoiksi.
On kuitenkin muistettava, että monella alalla lukion pitkäkään matematiikka ei riitä. Ei lukiossa ehditä kouluttaa kaikkien alojen matematiikan asiantuntijoita, jotka ilman lisäopetusta pärjäisivät korkea-asteen opinnoissa. Siitäkään syystä lukio-opetukseen ei pidä ahtaa kaikkea sitä mitä eri tahoilta vaaditaan.
Matematiikan varsinaisissa yliopisto-opinnoissa sitten jo jätetään kaikki lepsuttelu. Siellä opetetaan kovaa ja abstraktia Matematiikkaa, vaikka toisessa ketjussa eräs kirjoittaja yrittääkin epätoivoisesti todistella sen vahingollisuutta.
Koultetaanko Suomessa insinöörit pelaamaan pasianssia ? Ei ole sittenkään ihme tämä Suomen metalliteollisuuden alasajo.
Kyllä nimimerkin 'Ayatteliya' esittämä algebrallinen ratkaisutapa on ainoa oikea ratkaisu, joka voidaan koululaisille opettaa. Aloittajan esittämä ratkaisu perustuu kikkailuun, joka sopii ainoastaan tähän tehtävään, mutta Ayatteliyan ratkaisutapa on paljon yleispätevämpi. Entäpä jos ongelma muotoiltaisiin sillä tavalla, että jatkossa voitettaisiinkin 90 prosenttia pelatuista peleistä? Montako peliä pitäisi tuon alkutilanteen jälkeen pelata, jotta voittoprosentiksi saataisiin haluttu 80%?
Parempi olisi jos opettaisi molemmat tavat. Esim. todennäköisyyslaskennassa tulee esiin tehtäviä, jotka on käytännöllisintä ratkaista negaation kautta. On hyvä jos oppii tarkastelemaan tehtävää eri kanteilta.
Lukiossa pitäisi opettaa vektori- ja matriisilaskennan perusteita, johdatus differentiaaliyhtälöihin ja kompleksianalyysin alkeita. Näitä tarvitsevat mm. kaikki insinöörit.
Jos puhutaan kaavoista vs. intuitiivisistä vastauksista, niin mielestäni pitää opettaa kaavoja. Tämä ei tarkoita, että laskut olisivat puhtaasti kaavoja, vaan että sanallisesta tehtävästä muodostetaan kaavamaisesti funktio ja ratkaistaan se ns. "x":n suhteen.
Miksikö? Koska tämä toimii aina ja kaikkialla. Kaikki kunnia intuitiiviselle laskemiselle, mutta mitä tapahtuu jos vastaan tulee tehtävä, johon intuitio ei riitä? Kuvainnollinen x:n ratkaiseminen auttaa usein hajoittamaan tehtävän osiin ja lähestymään sitä, vaikka itse tehtävää ei ymmärtäisikään. Se on siis "varmempi työkalu", kuin intuitiivinen "ymmärtäminen". Sitä pitää mielestäni opettaa.
Olkoon intuitio on sitten niiden etuoikeus, jotka luonnostaan tai oman harjoituksen tuloksena siihen pystyvät.
Kyllä minun mielestäni matematiikan perusopetuksen tavoitteena edelleenkin on se, että luonteeltaan matemaattisten ongelmien tunnistaminen, niiden formulointi ja ehkä niiden ratkaiseminenkin muodostaisivat luontevan osan ajatteluamme. Kaikilta ei voi kaikkea vaatia. Mutta tärkeintä olisi se, että osattaisiin tarpeen mukaan hyödyntää myös sitä matemaattista osaamista, josta suomalainen koulutus ja tutkimuskin ovat tulleet maailmalla tunnetuiksi.
Kannatan matemaattisen informaatioteknologian opetusta, mm. laskennallista tekoälyä, signaalinkäsittelyä, tietoliikennettä...
Uskoisin, että tekoälyssä ainakin neuroverkot sovelluksineen saisivat lahjakkaat oppilaat hurmokseen.
Signaalinkäsittelyn yhteydessä voisi olla esim. z-muunnos, Laplace-muunnos ja Fourier-muunnos, jossa opettajan tulee näyttää, että ne ovat yksinkertaisesti projektioita vektorilta toiselle vektorille eli sisätuloja (tai kuten usein sanotaan: pistetuloja). Tämä tulee esille esim. tietoliikenteessä.
Jatkanpa edellistä viestiäni pohdittuani asiaa kauemmin.
Jos asiaa ajattelee ammatillisesta näkökulmasta, niin molemmissa ratkaisuissa on etunsa. Joskus on hyvä, että on olemassa yhtälöän ratkaisun tapainen menetelmä, jolla voi hoitaa kaikki vastaavanlaiset erikoistapaukset. Toisaalta matematiikassa on paljon ongelmia, joissa erikoistapauksia voidaan ratkaista mutta yleista teoriaa ei ole kehitetty. Näissä pitää sitten räätälöidä kyseisiin erikoistapaukseen sopivat menetelmät.
Molemmat päättelyt on syytä osata. Jos minulla olisi pikkuveli ja minun pitäisi neuvoa vain toinen tapa ratkaista ongelma, niin en kyllä osaisi sanoa kumman valitsisin.