Monet ovat varmasti tietoisia Cantorin todistuksesta sille, että esim. lukuväli [0,1] on ylinumeroituva.
Mutta ajatelkaapa Cantorin perustelua seuraavalta kannalta: Jokaisella rationaaliluvulla on tunnetusti desimaaliesitys, joten samalla Cantorin todistuksella voi näyttää, että lukuvälillä [0,1] olevien rationaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Mutta koska toisaalta tiedetään, että rationaaliluvut ovat numeroituva joukko, niin Cantorin täytyy yksinkertaisesti olla väärässä!
Mutta ajatelkaapa Cantorin perustelua seuraavalta kannalta: Jokaisella rationaaliluvulla on tunnetusti desimaaliesitys, joten samalla Cantorin todistuksella voi näyttää, että lukuvälillä [0,1] olevien rationaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Mutta koska toisaalta tiedetään, että rationaaliluvut ovat numeroituva joukko, niin Cantorin täytyy yksinkertaisesti olla väärässä!
Vastaukset 17
Vanhimmat
Teehän väittämäsi todistuksesta artikkeli vaikkapa Acta Mathematicaan. Jos se hyväksytään sinne, niin voit odottaa Fieldin palkintoa.
Lukiomatemaatikko: Olet varmaankin ymmärtänyt diagonaalipäättelyn jotenkin väärin. Ei sillä voi osoittaa, että Q on ylinumeroituva.
Onko kyse Cantorin diagonaalitodistuksesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Cantorin_diagonaaliargumentti? Jos samaa yritetään rationaaliluvuille, ei saatava "diagonaaliluku" ole rationaaliluku.
Mitä oikein tarkoitat? Perusteleppa vähän.
Listataan siis ensin kaikki rationaaliluvut ja sitten osoitetaan, että löytyy uusi rationaaliluku, joka ei löydy listasta. Tämä on sitten ristiriidassa rationaalilukujen nuumeroituvuuden kanssa
--> Cantorin todistus on päin petäjää!
Miten tuo uusi rationaaliluku löytyy varmasti? Jos toistan Cantorin päättelyn ja luettelen rationaaliluvut vaikkapa järjestyksessä
3,00000
0,10000
0,04000
0,00100
0,00050
0,00009
...,
niin diagonaaliluku 3,14159... voi supeta kohti piitä, joka on transkendenttinen.
Noita listattuja rationaalilukuja on ääretön määrä. Cantorin menetelmällä saatava diagonaaliluku on siis "äärettömän pitkä" desimaaliluku jossa desimaalit määräytyvät satunnaisesti. Miten saat siitä rationaaliluvun?
Eiku, ne lukujen desimaalit pitikin muuttaa. Mutta piihin päätyy vaikkapa luetelmalla järjestyksen
2,00000
0,90000
0,03000
0,00900
0,00040
0,00008
...
Tässä kolmonen on muutettu kakkoseksi, ykkönen ysiksi, nelonen kolmoseksi ja ysi kasiksi. Tästä otettu diagonaaliluku on näiden lukujen käänteismuunnoksen jälkeen 3,14159...
Ei siinä Cantorin todistuksessakaan ne desimaalit satunnaisesti määräydy!
Ei noissa sun horinoissa oo mitään järkeä.
Tuossa wikipedian mukaisessa Cantorin todistuksessa neloset ja viitoset tulevat satunnaisesti, niistä ei ole löydettävissä sellaista säännönmukaisuutta, jonka perusteella niistä voi tehdä rationaaliluvun
Rationaaliluvut ovat kyllä *tiheitä* R:ssä, mutta ei niiden joukko (tai joltain väliltä otettu osajoukko) silti ylinumeroituva ole... Tarkistapa määritelmäsi uudelleen.
17 4 on oikeassa.
Cantorin diagonaaliargumentti tuottaa desimaalilukujen listasta uuden desimaaliluvun, joka ei ole listassa, mutta ei ole mitään takeita, että tämä desimaaliluku olisi rationaalinen. Diagonaaliargumenttia ei siis voi soveltaa rationaalilukuihin.
-- onko totta ,että nykyaikainen matematiikan opetus vetää korvienvälit siis tollaseen kierteeseen -- tosta ei ole enää kovin pitkä matka hullujen huoneen kellariin ihan siihen kahleiden viereen.
jotain tarttis tehdä ?
Heh :)
Itse asiassa Cantor itse joutui "hullujenhuoneelle", kun pohti vähän liikaa numeroituvien ja ylinumeroituvien joukkojen välisiä eroja...
Oikeastaan hän ei kestänyt saamaansa kritiikkiä ja ilmeisesti masentui.matematiikkahan ei hulluksi tee. :P
Juu, näitä "lukiomatemaatikkoja" oli jo silloinkin.
0:17-0:35 :)
http://youtu.be/f7p5PdN-vbE?t=17s