Miksi funktio haluttaisiin esittää äärettömyyksiin jatkuvana sarjana sen sijaan, että käytettäisiin itse funktion kaavaa? Eikö äärettömyydet ole aina ongelmallisia? Esim Fourier-sarja. Sori jos kysymys on tyhmä, mutta en ole matikkaan kauhean perehtynyt.
Mihin tarvitaan sarjoja?
7+4=11
4149
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Sarjat on helpompi ohjelmoida koneelle kuin suljettu muoto. Tällaista suljettua muotoa ei välttämättä ole edes olemassa. Ei niistä äärettömyyksistä aina ole haittaa, jos virheettä saa olla tapauksesta riippuen tietyn verran ja virhe osataan arvioida pieneksi. Esimerkiksi ei ole tiedossa, onko luvulle
1 1/2^3 1/3^3 1/4^3 ...
mitään nättiä muotoa, mutta tiedetään, että tuon luvun arvo on välillä [1.202,1.203]. Toki valtavan paljon tarkempi arvokin on laskettu.
Kaavalla ei kai ole ihan täsmällistä määritelmää matikassa. Kuitenkin jos oletetaan tunnetuksi se, mitä kaavalla yleensä normaalit koululaiset tarkoittavat, niin kaavoja ei ole kaikille funktioille. Funktioita on ylinumeroituvan monta, kaavoja taas numeroituvati, koska ne kaikki voi kirjoittaa tietokoneella, LaTeXilla.
Ei kysymys ole tyhmä.
Ja ajatellaanpa insinööriä, joka tekee tietokoneen laskemaan sinin 1:n arvon. Koska hän rakentaa koneen alusta lähtien itse, hän joutuu tekemään ohjelmointikielen, jossa ei ole valmista komentoa sin. Mutta selvästi tietokoneet osaavat approksimoida sinin arvoja, joten jonkinmoinen sarjaesitys on ihan kätevä työkalu approksimointiin.
Kysymys ei ole lainkaan tyhmä. Päinvastoin, se on erittäin hyvä.
Syitä sarjojen käyttöön on useita, joista en varmastikaan tähän hätään edes hoksaa suurinta osaa. Yritän kuitenkin mainita pari.
Yksi syy on epäilemättä se, että moniakaan tärkeitä funktioita ei voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla (ts. ei välttämättä ole olemassa "funktion kaavaa"). Tai vaikka periaatteessa voisikin, ei tällaisen esityksen löytäminen aina käytännössä ole kovinkaan helppoa. Esimerkiksi monille differentiaaliyhtälöille voi olla paljon helpompi löytää ratkaisu vaikkapa juuri Fourier-sarjana kuin suljetussa muodossa (sikäli kuin jälkimmäinen edes on olemassa)
Toisekseen, on väärin olettaa, että sarjaesitys olisi jotenkin vaikea tapa esittää funktio - varsinkin jos kyseessä on vähänkin polynomia monimutkaisempi funktio. Kyllähän esimerkiksi eksponenttifunktio exp(x) = e^x saattaa äkkiseltään näyttää monimutkaisemmalta sarjamuodossa 1 x x^2/2! x^3/3! ... Jos kuitenkin aletaan miettimään mitä eksponenttifunktio oikeastaan tarkoittaa kun vaikkapa x on irrationaalinen tai miten sen arvoja ainakin periaatteessa voidaan laskea ilman laskinta, veikkaisin ettei monikiaan lukiossa pitkän matematiikan suorittanut tiedä. Potenssisarjaesityksen merkitys sen sijaan on verrattain selkeä, sillä ottamalla n ensimmäistä termiä saadaan polynomifunktio, joka aproksimoi eksponenttifunktiota, ja mitä enemmän termejä otetaan sitä parempi tämä aproksimaatio on. Ei tämä ole sen vaikeampaa kuin reaaliluvun esittäminen desimaalimuodossa! Itse asiassa sarjakehitelmä on järkevä myös kompleksisille x:n arvoille, ja tämä ehdottaa luontevan tavan eksponenttifunktion määritelmän laajentamiseksi kompleksitasoon. Veikkaisin, että ilman sarjojen käyttöä on hankala keksiä, miten e^x pitäisi määritellä kun x on kompleksinen.
Sarjat ovat myös erittäin hyödyllisiä teoreettisissa tarkasteluissa. Esimerkiksi potenssisarjat ovat intuitiivisesti ajatellen ääretön ulotteisia polynomeja ja niitä voidaan tietyin oletuksin manipuloida (kertoa, laskea yhteen, derivoida, integroida jne.) todistuksissa samaan tapaan kuin polynomeja ja polynomeilla operointihan on verrattain helppoa.
Matematiikka toimii juuri päinvastoin.
Määrätyistä funktioista ei sarjoja tarvitse kehitellä, sarjoilla ratkaistaan sellaiset yhtälöt, jotka alkeisfunktioilla ei ratkea ja useimmista usein laskutehtävissä toistuvista sarjoista on valmiiksi laskettu likiarvo, jota voidaan sellaisenaan käyttää kuin alkeisfunktion vakiona.
Esimerkkinä trigonometriset funktiot, pii, e, !, ym.laskimissa tai taulukoissa löytyvät arvot on valmiiksi sarjoista laskettuja, eli ilman sarjoja tai niiden sovelluksia matematiikan kyky käsitellä ongelmia olisi sangen alkeellista.
Usein sarjakehitelmä on Taylorin sarjapolynomikehitelmä, ja tietokoneen on helppo laskea se. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu. Fourier-sarja pätee jaksollisille funktioille, ja sen avulla voidaan yleensä alipäästösuodattaa korkeita taajuuksia pois. Tämä on toimivaa esim. äänenkäsittelyssä, jossa yli 25,000 Hz taajuuksia ei tarvita, koska niitä ei kuule. Saadaan pakattua tietoa tehokkaasti.