Hei,
murtopotenssi on määritelty x^(a/b) = b-juuri(x^a), mutta mitä tarkoittaa esim. x^3,38561 tai x^π. Miten irrationaaliset eksponentit on määritelty?
murtopotenssi on määritelty x^(a/b) = b-juuri(x^a), mutta mitä tarkoittaa esim. x^3,38561 tai x^π. Miten irrationaaliset eksponentit on määritelty?
Vastaukset 5
Vanhimmat
eksponentti voi olla irrationaalinen , samalla lailla menee.
potenssiin korotettava on oltava tässäkin positiivinen
sinulla taitaakin olla ongelmana se, että et saa muutettua sitä irrationaalilukua murtoluvuksi, että saisit otttua beennen juuren.
Nyt kannattaakin unohtaa tuo määritelmäsi, ei sillä mitään käyttöä ole irrationaalilukujen kanssa pelattaessa
Tarkemmin sanoen potenssifunktio, kun eksponetti on irrationaalinen, lasketaan raja-arvona, kun rationaaliluvut suppenevat kohti irrationaalilukua.
Jokainen irrationaaliluku voidaan esittää rationaalilukujonon raja-arvona. Esimerkiksi PI on jonon
3, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000,... raja-arvo. Edelleen voidaan osoittaa, että potenssi on eksponentin jatkuva funktio. Jos siis irrationaalikuku p on rationaalilukujonon
r1, r2,r 3, r4, .... raja-arvo, niin a^p määritellään jonon
a^r1, a^r2, a^r3, a^r4,.... raja-arvona.
Kun reaaliluvun a potenssit a^x on ensin määritelty kaikille rationaalisille eksponentin x arvoille, niin voidaan osoittaa, että funktiolla f(x)=a^x on olemassa yksikäsitteinen laajennus jatkuvaksi funktioksi koko reaalilukujen joukossa. Tämän tarkasti osoittaminen vaatii runsaasti yliopistotason matematiikkaa, mutta lienee uskottavissa kuvaajan perusteella. Eksponenttifunktio voidaan nyt määritellä irrationaalisille eksponenteille x tämän jatkuvan laajennuksen arvoksi kyseisessä pisteessä.
Kuten aiemmissa posteissa on mainittu potenssi a^x saadaan tällöin raja-arvona lim a^(x_n) (siis raja-arvo, kun n kasvaa rajatta), kun (x_n) on mikä tahanssa lukua x kohti suppeneva rationaalilukujen jono.
Itse asiassa a-kantainen eksponenttifunktio f(x)=a^x, missä 0