Yhtälöllä cos(x)=0,001x^2 on monta ratkaisuja. Olkoon x1 yhtälön pienin ratkaisu ja x2 suurin ratkaisu. Etsi jokin lukuväli [a,b] jolle kaikki ratkaisut kuuluvat ja 2*|x2-x1| > |b-a|.
Vastaus: [-10sqrt(10) , 10sqrt(10)]
Voisiko joku selittää tämän tehtävän ratkaisun?
Vastaus: [-10sqrt(10) , 10sqrt(10)]
Voisiko joku selittää tämän tehtävän ratkaisun?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Ilmeisesti ensiksi on kokeiltu, että jos x= -10sqrt(10), niin 0,001x^2=1. Siten kaikki ratkaisut on välttämättä välillä [-10sqrt(10) , 10sqrt(10)] . Sitten voidaan laskea, että |b-a|=20sqrt(10). Sitten on laskettu varmaan numeerisella menetelmällä, että pienin ratkaisu on suurempi kuin -31.6 ja suurin pienempi kuin 31.6 ja todistettu, että ratkaisut ovat pienin ja suurin mahdollinen. Lopuksi on osoitettu, että 2*|31.6-(-31.6)| on suurempi kuin |10sqrt(10)-(-10sqrt(10))|=20sqrt(10).
Tuo 10sqrt(10) on suunnilleen 31,6 joten ei tuossa epäyhtälössä ole mieltä. Eikä tuota lukemaa saada kokeilemalla vaan siitä, että cos(x):n maksimiarvo on 1. Itse lähtisin tarkastelemaan cosinin jaksoja (jakson aikana cos lähtee 1stä, saavuttaa minimin -1 ja nousee taas 1een). Tuohon 10sqrt(10) ~ 31,622:een mahtuu runsaat viisi jaksoa sillä 10pii ~ 31,416. Viidennen jakson jälkeen cos lähtee vähenemään 1stä kun taas välillä 31,1416 - 31,622 funktio 0,001x^2 kasvaa arvoon 1. Tuolla välillä on siis väistämättä leikkauspiste. Sama tapahtuu negatiivisella puolella funktioiden symmetrisyyden takia. Eli suurin ratkaisu on välillä 10pii - 10sqrt(10) ja pienin vastaavasti.
Mitä tarkoitat tuolla "epäyhtälössä ei ole mieltä"? Minusta on voimassa 2*|31.6-(-31.6)|=126.4 on suurempi kuin 64 on suurempi kuin |10sqrt(10)-(-10sqrt(10))|=20sqrt(10).
Niin mutta mistä tuo 31,6 tulee? Kuvittelen se on vain 10sqrt(10) alalikiarvo. Toteat että "Sitten on laskettu varmaan numeerisella menetelmällä, että pienin ratkaisu on suurempi kuin -31.6 ja suurin pienempi kuin 31.6". Jos on niin, silloin 2*|x2-x1| < 126,4 eikä voida ilman muuta sanoa että se on > 20sqrt(10), vaikka 126,4 on sitä.
Tuossa mun menetelmässä määritetään yläraja pienimmälle (negatiiviselle) ratkaisulle, x1 = -10*pii ja alaraja suurimmalle ratkaisulle x2 = 10*pii. Silloin 2*|x2-x1| > 40*pii > 20sqrt(10).