Mitä on (f^-1)'((e^2 e^(-2))/2) kun f(x) = cosh(x). D(f) = ]-inf, 0]?
Oikea vastaus 2/(e^(-2) -e^2). Saan saman vastauksen, mutta ensimmäisessä e:ssä on 2 ja jälkimmäisessä (-2). Laskuvirhettä en löytänyt. Ratkaisuista löysin, että siellä oli käytetty -2 :tä 2:n sijaan vaikka cosh(2). Tarkemmin ei ole selitetty. Voisko joku selventää tehtävän ratkaisua?
Oikea vastaus 2/(e^(-2) -e^2). Saan saman vastauksen, mutta ensimmäisessä e:ssä on 2 ja jälkimmäisessä (-2). Laskuvirhettä en löytänyt. Ratkaisuista löysin, että siellä oli käytetty -2 :tä 2:n sijaan vaikka cosh(2). Tarkemmin ei ole selitetty. Voisko joku selventää tehtävän ratkaisua?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Tehtävä on kiero. Funktion cosh(x) käänteisfunktiolla on kaksi haaraa. Huomaat tämän, kun piirrät funktion cosh(x) kuvaajan läpinäkyvälle kalvolle. Sitten kierrät kuvaa 90 astetta myötäpäivään ja sen jälkeen keikautat kalvoa 180 astetta y-akselin ympäri, jolloin näet käänteisfunktion kuvaajan tavanomaisessa koordinaatistossa. Käänteisfunktion määrittelyalue on [1, int [. Huomaat, että kun käänteisfunktion arvo on välillä ]-inf, 0[, niin sen derivaatta on negatiivinen.
Funktion f(x) käänteisfunktion g(x) derivaatta on
g'(y) = 1 / f'(g(y))
Olkoon funktion cosh(x) käänteisfunktion positiivinen haara g(x). Silloin sen negatiivinen haara on symmetrian vuoksi -g(x). Lausekkeen arvo täytyy laskea arvolla
x = cosh(2) käänteisfunktion negatiivisesta haarasta.- g(cosh(2)) = - 2.
Siis derivaatta
g'(cosh(2)) = 1/sinh(-2).