Olkoot x ja y normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo ja varianssi. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske x:n ja z:n korrelaatio.
Ei oikein ota auetakseen, vaikka pyörittelen miten päin. Auttaisiko joku edes vähän alkuun, kiitos?
Ei oikein ota auetakseen, vaikka pyörittelen miten päin. Auttaisiko joku edes vähän alkuun, kiitos?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Merkitään Sxy x ja y kovarianssimatriisia
tehdään jatkuva bijektio
z=x-y
t=x
Matriisi merkinnöin
(z t) saadaan vektrorista (x y) kertomalla matrsiisilla A=
1 -1
1 0
Nyt z t kovarianssimatriisi on
Sxz=ASxyA^T, eli sinun pitäisi tietää x ja y välinen kovarianssimatriisi, jos
x ja y riippumattomat on Sxy=I, joten tarvii laskea AA^T eli matriisitulo
1 -1 1 1
1 0 -1 0
=
2 1
1 1
josta voit sitten laskea korrelaatiot
Turhan hankalaa tuolla tavalla. Tehtävänhän voi laskea ihan odotusarvo- ja varianssioperaattorien perusominaisuuksilla. Sorry, en viitsinyt tarkistaa, tuleeko tuolla matriisilaskulla sama tulos, ainakin järkevältä kuitenkin vaikuttaa.
Merkitään E(*) = odotusarvo, D^2(*) = varianssi, Cov(#,¤) = kovarianssi, Rho = korrelaatio.
E(x) = E(x) - E(y) = 0, koska x ja y riippumattomia ja yhtäsuuria
D^(z) = 2D^(x), koska x ja y riippumattomia ja yhtäsuuria
Cov(x,z) = E(xz) - E(x)*E(z) = D^(x) ihan simppelillä pyörittelyllä
Rho = Cov(x,z)/SQRT[D^(x)*D^2(z)] = SQRT(2)/2 ~ 0.7
Myönnettäköön, että itsekin menin aluksi vähän aikaa harhaan tuon mainitun normaalijakaumaoletuksen takia ja pyöritin tiheysfunktioita, mutta onneksi heurekekkasin äkkiä oikotien, mikä lienee myös tehtävänlaatijan tarkoitus.
Kiiitos! Turha monimutkaistaa yksinkertaisuutta. Noihan se todella menee. Eka kaavasasi tosin tulee olla E(z) = ..., mutta painovirhepaholanen oli helppo havaita. Idea noinkin helposta ratkaisusta oli manio!
Kyllä se toimii kun osaa! Itsekin yritin ratkaista monimutkaisesti, kun en huomannut oikotietä.