funktiosta ja neliöjuuresta

Tuosta yksiarvoisuudesta seuraa kaikenlaisia mukavia ominaisuuksia joiden takia se on toivottava vaatimus mutta ei mikään välttämättömyys. Matematiikassa tutkitaan paljon relaatioita joissa yksiarvoisuus ei päde. Niitä ei vain kutsuta funktioiksi.

entäs jos muutettaisiin nykyinen malli, että funktiolla voi olla kaksi arvoa. näin siitä saataisiin graafinen käyrä ja ei se ehkä turhaa olisi. Toiseksi, ei ole mitään syytä rajata yksiarvoisiksi kullekin muuttujan kohdalle funktioita. Jos löytyy syy, niin miksi sitä ei sanota.

olen lukenut käänteisfunktiosta sen verran, että on ajateltu, että siksi käyrä ei voi olla funktio, jos sillä ei voi olla käänteisfunktioita. nyt esittelen käänteisfunktiota ja funktion juttua. Esim.
y = x potenssiin (1/ (2(n 1)) n on luonnollinen luku. äskeinen käyrä saisi siis kahdet arvot kullekin muuttujakohdalle. jos siitä otetaan käänteisfunktio, niin siitä tulee yksinkertaisesti x= y potenssiin (2n 2). Mitäs vastaansanomista tässä on? y on siinä muuttuja ja kumpikaan käyrä ei mene x-akselin negatiivisille arvoille. käänteisfunktio ei saa kaksoisarvoja millekään y; n arvolle

"Lukion kirjassa luki, että funktio, joka saa kaksi arvoa yhdellä muuttujakohdassa, ei ole funktio."

Jos tämä on todellakin se sanamuoto, niin kannattaa pistää palautetta kirjoittajalle. Siis määritelmästä seuraa, että funktio ei saa kahta arvoa samassa pisteessä, joten on ehdottomasti väärin puhua tai kirjoittaa funktiosta, joka saa kaksi arvoa yhdellä muuttujan arvolla.

"teoreettisesti, mitä haittaa kaksoisarvoisuudesta on"

Eipä siinä muuta, mutta kun pitkään käytössä oleva funktion määritelmä ei salli kaksiarvoisuutta. Minusta on rasittavaa uudelleenmääritellä kauan voimassa olleita käsitteitä, kun siinä joutuu aina muistelemaan, mitä käsitteellä tarkoitetaan. Ainakin kompaktiuden käsite ei ole kaikissa lähteissä sama ja ei ole aiana selvää, onko nolla luonnollinen luku. Jos haluat luoda uuden käsitteen, niin valitse sille joku uusi nimi, joka ei ole ennestään käytössä.

Tunnen erään matemaatikon, joka mietti aikoinaan, että jos hän keksii uuden matemaattisen käsitteen, niin hän antaa sille nimeksi jonkun suomalaisen kirosanan. Voisi olla hauska lukea tekstiä, jossa lukee vaikkapa "Let x be an arbitrary paska".

Siis nykymääritelmän mukaan funktio tarkoittaa tuommoista tietynlaista relaatiota x:n ja y:n välillä jossa yhtä x:n arvoa vastaa tasan yksi y:n arvo. Ei ole mitään syytä muuttaa mitään nykyistä mallia koska paljon yleisempiä määritelmiä on ollut käytössä jo ikiajat. Näistä ei vain lukiossa puhuta. Toki kuvaajia voi piirtää vaikka mistä.

Kannattaa ajatella, että funktio on ns. "muuntoväline". Se muuntaa lukuja ym. alkioita toisiksi luvuiksi, alkioiksi, vektoreiksi..

Funktio ei voi kuitenkaan koskaan luoda lisää informaatiota. Jos funktio on injektiivinen se säilyttää sille syötetyn kaiken informaation, jos se ei ole, se hävittää sitä. Tämä on juuri nykyisen funktiokäsitteen vahvuus. Jos sama luku kuvautuisi yhden pisteen sijaan usealle pisteelle, funktio vain sotkisi sille annetun informaation. Tälläiset funktiot olisivat melko ikäviä käytännön kannalta.

olen enemmän kuin puolet tällä kannalla, että:

funktio saisi yhdelle muuttujan arvolle, jos sillä olisi näennäisesti mahdollisuus kaksoisarvoisuuteen, yhden joko ylempänä olevan arvon tai sitten alempana olevan arvon, mutta ei koskaan sillä olisi mahdollisuutta saada yhtä aikaa molempia arvoja. Siis, jos sillä olisi enintään kaksi mahdollisuutta saada arvo kullekin muuttujalle.

Ja niissä funktioissa, joissa funktio saa muuttujalle 2 tai enemmän arvoa, niin ko. funktiot jaettaisiin pätkiksi, joita yhdistäisi joko-tai merkit, ei tai-merkit.

Nämä kaikki ovat tietysti vain määrittelykysymyksiä. Funktion määrittely yksiarvoiseksi on vain selkeämpää kuin yrittää sählätä samanaikaisesti kaikkien haarojen kanssa. Neliöjuuri ei ole edes pahin. Onhan esimerkiksi arcsin(x) pahempi tapaus. Sillähän on äärettömän monta haraa.

johonkin tähän suuntaan arcsin- funktion kuvaaminen kaikilla arvoilla voisi ehkä olla, eli, ja en löydä matemaattisia merkkejä tähän.

n on funktioiden järjestys, x on muuttuja sigma (n kertaa arcsin x n kertaa jokin tietty minulle tuntematon trigonometrinen vakio) äskeiseen lisätään, että tuo sigma liittää funktiot ja niihin kuuluvat vakiot joko-tai merkeillä yhteen, ei siis ja merkeillä.

Huomioitavaa on äskeisessä se, että funktiot ovat muodoltaan identtisiä muuttujan suhteen, mutta ei paikan suhteen.

Lopuksi ei samankaltaisia funktioita, jotka näin summattaisiin erikoislaatuisesti ei matematiikassa tule varmaan koskaan eteen, kuten vaikka funktio, jossa on 5 arvoa, jollekin muuttuja-arvolle. Jälkimmäinen jos ei pidä paikkaansa, tätä teoriaa voisi supistaa, jos tulee paljon ei-samankaltaisia funktioita eteen, joissa on paljon samoja arvoja muuttujalle.

Mikähän tuossa alkuperäisessä postissa on niin pahasti vikana, että sille on pitänyt miinusta antaa? Vaikuttaa ihan asialliselta kysymykseltä.

Mitä vastaukseen tulee, niin määrittelykysymyksiähän nämä viime kädessä tosiaan ovat. Monesti yksiarvoisuus on hyvästä, mutta usein myös neliöjuuren kaksiarvoisuus pitää huomioida. Jälkimmäisessä tapauksessa ei vain puhuta neliöjuurifunktiosta (tai jos puhutaan, niin kyseessä ei ole normaali reaalifunktio).

todistan seuravan:

jos y = x potenssiin 2, niin x = plus miinus neliöjuuri y, josta seuraa se, että plus miinus voi vaihtua toiselle puolelle, eli plus miinus x = neliöjuuri y.

Näin todistin, että neliöjuurifunktio saa kaksiarvoiset arvot