Kuinka voin osoittaa, että n! / n^n = 1.
epäyhtälö
matmat
16178
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Googlaa Stirling's approximation.
Minulle jäi vielä mysteeriksi, miten tuo tehtävä ratkeaisi Stirlingin approksimaation avulla?
Stirlingin approksimaatio pätee suurille luvuille. Kaikille luvuille n on voimassa n!=sqrt(2 pii n)(n/e)^n exp(lambda), missä lambda kuuluu välille (1/(12n 1),1/12n). Supistetaan n^n pois, jolloin n! / n^n on pienempää kuin sqrt(2 pii n)(1/e)^n exp(lambda). Tämä approksimaatio ei tuota haluttua epäyhtälöä tapauksessa n=1. En jaksa miettiä, mutta pitäisi todistaa joku raja, josta asti tuo epäyhtälö pätee ja laskea pienet n:n arvot alkuperäisestä epäyhtälöstä.
Tai oikeastaan tuossa päästään epäyhtälöön
n^(5/2)/exp(n-1/(12n 1))
Siis onko n luonnollinen luku? Silloin menee helpoimmin induktiolla. Oletetraan että pätee arvolla n eli
n! / n^n
Vaikkapa näin:
n! = 1*2*3*...*(n-1)*n = (1*2)*(3*...*(n-1)*n)
Tosi tyhmä ratkaisu.
Kyllä tuo tehtävä on varmaankin tarkoitettu ratkaistavaksi induktiota käyttäen.
Minunkin mielestäni tuo ratkaisu on liian yksinkertainen.
Jos ylioppilaskirjoituksissa vastaisi tuolla tavalla, ei varmaankaan saisi täysiä pisteitä. Vastauksen pitäisi varmasti olla hiukan pitempi ja monimutkaisempi.
En usko, että tuosta tulisi täysiä pisteitä. Ensiksi pitää sanoa, että kun n on vähintään kaksi, on voimassa n! on korkentaan 2*n^(n-2). Jos alussa ei mainitse mitä on n, niin epäyhtälön kanssa joutuu ongelmiin juurikin tapauksessa n=1, jota ei ole vielä poissuljettu epäyhtälöä käytettäessä.
Liian yksinkertainen?
Eikös yksinkertainen juuri ole kaunista ja tähän matematiikassa pyritään.
Kyllähän tässä tuo induktio periaatteessa kuitenkin tarvitaan. Jo tuon tulon
n! = 1*2*3*...*n
määrittelyyn ja sitten pitää osoittaa, että tulo on pienempi, kun sen (positiiviset) tekijät ovat pienempiä. Mutta, jos nämä ovat lemmoina valmiina niin OK.
Näin minä ajattelisin. En sitten osaa ylioppilaslautakuntavirkailijoiden puolesta sanoa mitään siitä miten monta pistettä tulisi...
Niin, kyllähän ylioppilaskirjoituksissa samaten kuin muissakin koulujen kokeissa pitäisi asioita pystyä ajattelemaan vähän monimutkaisemmin. Silloin kykenee paremmin pärjäämään vaikkapa myöhemmissä yliopisto-opinnoissa. Ei asioita pitäisi liikaa yksinkertaistaa. Itse yritän kokeneena opettajana aina pyrkiä siihen, etteivät oppilaat erehtyisi luulemaan asioita liian helpoiksi.
Niinpä niin.
Itse olen vähän nuorempaa polvea, mutta olen jo ehtinyt hankkia kokemusta jonkun verran. Erityisen ärsyttäviksi olen huomannut ne tilanteet, joissa olen juuri vetänyt jonkun laskun lopputulokseen koko liitutaulun täyttävällä kehittelyllä, kun joku luokan 'neropateiksi' itseään luulevista oppilaista huomauttaa lopputuloksen seuraavan ongelman asettelusta suoraan sillä ja sillä päättelyllä. Tällaiset tilanteet vievät pohjan pois koko opetustyöltäni. Onneksi minulla on kuitenkin mahdollisuus hiukan hillitä tällaisia oppilaita vaikkapa oppilaiden arvostelun keinoin.
http://aijaa.com/UUbjSW
koskaan ei kannata olla liian varma. Pitää olla "Tämä on varmasti pienempi tai yhtäsuuri kuin 1, jos n on suurempi tai yhtäsuuri kuin 3".
En ymmärrä miksi nuo Sinisalon ja aeijan ratkaisut, jotka ovat käytännössä samoja, voisi saada täysiä pisteitä yo-kirjoituksissa, jos ne esitetään hieman eksaktimmassa muodossa.
Eiköhän niistä tulisi maksimipisteet, kunhan ratkaisut kirjoitetaan kunnolla. Tuo Sinisalon ratkaisu on helppo korjata oikeaksi: Siirretään vain teksti "kun n>1" ratkaisun alkuun ja vaihdetaan k K:ksi. Tällöin arvion n!