Mikä jakojäännös jää kuin 2013^2013 jaetaan nelosella?
Laskin näin mutta saan väärän vastauksen;
2013=503*4 1
2013==1 (== eli kongruessimerkki)
(1)^2013 =1
Miks tää on muka väärin?
Laskin näin mutta saan väärän vastauksen;
2013=503*4 1
2013==1 (== eli kongruessimerkki)
(1)^2013 =1
Miks tää on muka väärin?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Vastauksesi on täysin oikea.
2013=503*4 1
eli
2013==1 (mod 4)
eli
2013^2013==1^2013==1 (mod 4)
eli jakojäännös on yksi.
Oikein on. Mä toteaisin laskisin hieman toisin: 2013=2000 13=0 1=1 mod 4.
Luku 2013 on selvästi 2013=2x1006 1
Eulerin lauseen mukaan a^phi(4)=1 (mod 4) kaikilla luvuilla a.
Selvästi phi(4)=2.
Eli 2013^2013=(2013)^(2x1006 1)=2013x(2013^2)^1006=2013x1^1006=2013=1 mod 4
Eli saa tuon hienostelemallakin!!!
Paitsi että Eulerin lause ei päde kaikilla a. Mutta (4,2003)=1, joten lausetta voi tässä tapauksessa käyttää. Perustelusi on kuitenkin väärin.
2013^2013-1
=(2013-1)*(2013^2012 2013^2011 ... 2013 1)
=2012*(2013^2012 2013^2011 ... 2013 1)
=4*503*(2013^2012 2013^2011 ... 2013 1)
=4k,
missä k=503*(2013^2012 2013^2011 ... 2013 1) on kokonaisluku.
Siis
2013^2013=4k 1
ja jakojäännös luvulla 4 jaettaessa on 1.
Minä taas tarkistaisin näin:
2013^1------13 , tuo jälkimmäinen on aina luvun kaksi viimeistä numeroa
2013^2------69
2013^3------97
2013^4------61
2013^5------93
2013^6------09
2013^7------17
2013^8------21
2013^9------73
2013^10----49
2013^11----37
2013^12----81
2013^13----53 ,aina jos eksponentti on neljällä jaollinen, päättyy ykköseen, joten
2013^2012--n1
2013^2013--m3 , myöskin aina jos päättyy kolmoseen, toiseksi viim. on pariton
2013^2013 päättyy siis numeroihin pariton3.
Niitä on 13,33,53,73,93.
Aina näihin päättyviä lukuja neljällä jaettaessa jakojäännös on 1, on ne edeltävät numerot mitä hyvänsä.
"Aina näihin päättyviä lukuja neljällä jaettaessa jakojäännös on 1, on ne edeltävät numerot mitä hyvänsä."
Toi ei ole ihan itsestään selvä, mutta näin sen voi ainakin osoittaa
mielivaltainen luku = 3 10x 100a 1000b 10000c....=(n J/4)*4 , jossa
a,b, c....,n ja x kaikki positiivisia kokonaislukuja, ja J =0,1,2,3
=>n=(5/2x) (3/4)-(J/4) 25a 250b 2500c....
25a 250 b 2500c... on kokonaisluku, joten =(5/2x) (3/4)-(J/4) myöskin on oltava kokonaisluku, jotta n olisi kokonaisluku.
Parillisilla x : (3/4)-(J/4) on oltava 0 positiiviseen kokonaislukuun pääsemiseksi, jolloin J=3
Parittomilla x: (3/4)-(J/4) on oltava 1/2 positiiviseen kokonaislukuun pääsemiseksi
jolloin J=1
Jos mielivaltaisen luvun toiseksi viimeinen numero on pariton ja viimeinen 3, niin lukua neljällä jaettaessa jakojäännös on 1.