Suorakulmion muotoisen juhlasalin lattia, jonka mitat ovat tarkalleen 29m x 20 m, halutaan laatoittaa tarkalleen neliön muotoisilla ja keskenään saman kokoisilla laatoilla siten, että yhtään laattaa ei tarvitse leikata, ts. kaikki laatat ovat kokonaisia ja lisäksi laattojen väliin samoin kuin laattojen ja seinien väliin jää saumausmassaa varten 4,5-5,0 millimetrin rako saumausmassaa varten.
Minkä kokoisia laattoja voitaisiin käyttää?
Ts. millaisia ovat laatan sivun pituuden mahdolliset arvot?
Minkä kokoisia laattoja voitaisiin käyttää?
Ts. millaisia ovat laatan sivun pituuden mahdolliset arvot?
Vastaukset 18
Vanhimmat
Hahmottelin paperille tuota ongelmaa. Sen mukaan voi ajatella alan koostuva laatoista, joiden kahdelle vierekkäiselle sivulle on laitettu saumausmassa niin, että saumausmassallinen toisen laatan sivu tulee saumausmassattomaa sivua vastaan. Tuloksena kaikissa väleissä on yksinkerainen saumausmassa. Lopuksi lisätään saumausmassa lattian kahdelle vielä saumausmassattomala sivulle.
Näin saadaan yhtälöt
n*(d s) s = 29
m*(d s) s = 20
Jossa s on saumausmassan leveys, d on laatan sivun pituus
m ja n ovat laattojen lukumäärat eri suuntiin
Ilman saumausmassa tehtävä olisi kait vain etsiä laatan sivun pituus, joka menee tasan molempiin lattian sivujen pituuksiin eli molemmat sivut ovat jaollisia laatan sivun pituudella.
En tiedä noista ajatuksista käyttökelpoista lähtökohtaa ratkaisuun.
Voisiko ajatella näin. Lattian sivujen erotus 9 m pitää olla jaollinen laatan sivun pituudella ja samoin sivut 20 m ja 29 m.
Kun ottaa saumat huomioon, niin pitää olla jaollinen (d s):llä tai tarkemmin 9 s, 20 s ja 29 s pitää olla jaollinen (d s):llä
Etsitään mitta joka menee tasakertoimella kerrottuna mittoihin 9 s, 20 s ja 29 s
s on niin pieni että sen voinee jättää pois paitsi löydetystä jaollisesta mitasta pitää vähetää s, jotta saadaa laatan sivun pituus (d = jaollinen mitta - s )
Mietin tässä, että mistähän mahtaa johtua, että tälläkin palstalla ratkotaan innokkaasti kaikenlaisia koulumatematiikkaan liittyviä ylitrivialisoituja ongelmia, mutta jos joku kysyy jotain käytännöllistä tekniikkaan tai teollisuusmatematiikkaan liittyvää ongelmaa, hänet 'vaietaan kuoliaaksi' ts. kukaan ei ole kiinnostunut?
Ei tämä nyt sentään ihan koulumatematiikkaa ole. Otetaanpa asia ihan käytännölliseltä kannalta. Pitäisi ensin päättää tuo sauman leveys: puolen millin heitto heittää tulosta jo paljon, ja käytännössä ulkonäkösyistä kai saumat oletetaan tasalevyisiksi.
Toisaalta neliölaatoille ei ole mainittu mitään maksimi- tai minimikokoa ja noilla edellytyksillä ei päässälaskien intuitiivisesti homma toteutuu vain äärimmäisen pienillä laatoilla, koska 20/29 on irrationaaliluku. Sauman leveydellä sitä ehkä voisi yrittää säätää rationaaliseksi, mutta luultavasti se leveyskin olisi irrationaalinen.
Operaatioanalyysissa tuontyppinen on lähellä ns. short cut -ongelmaa (voi googlettaa!)
Väärin.
Kyllä 20/29 on nimenomaan ratinaaliluku.
Herra tohtori on nyt hyvä ja tarkistaa tietämystään matematiikan perusteista.
Kyllä 20/29 on irrationaalinen: epäilemättä päätymätön, eikä ainakaan 33:ssa ensimmäisessä desimaalissa esiinny minkäänlaista jaksollisuutta. Voisihan tuon rationaalisuuden/irrationalisuuden todistaakin, mutta luotan nyt intuitioon.
jaksollinen desimaaliluku jonka jakso on 28 numeroa
6896551724137931034482758620
http://www.wolframalpha.com/input/?i=20/29&x=3&y=7
ja siis rationaaliluku kuten kaikki murtoluvut ovat.
Maisteri vaan voisi katsoa rationaaliluvun määritelmää http://fi.wikipedia.org/wiki/Rationaaliluku. Kaikki muotoa m/n olevat luvut ovat rationaalilukuja joten 20/29 on sitä jo määritelmän perusteella. Ei se että desimaaliesityksessä on ääretön määrä numeroita tee siitä irrationaalilukua.
Sentin kanttiinsa laattoja viiden millin saumalla 193x133 kpl. (en alkaisi laatoittaa)
piti olla 1933x1333 kpl
Tässähän on ensin haettava kaikki mahdolliset laattakoot, niitä ei montaa ole, valmistajien netti sivuilta ja kokeiltava niillä.
Minä kokeilin 100x100 laattaa ja tuli 277x191 kpl ja saumavahvuus pitemmällä sivulla oli 4,67 mm ja lyhemmällä 4,68 mm.
Tuossa on se yhtälö, jolla Wolframissa aletaan pyöritellä:
(n 1)*y 100n=29000 , y=5. En nyt ehdi enempää...
Ajatus tässä on se, että niiden laattojen sivun pituuden voi itse määrätä. Ei siis tarvitse rajoittua valmistajien ennalta määriteltyihin laattakokoihin. Käytännössä voidaan tietysti hyödyntää valmiiksi tarjolla olevia laattakokoja, jos sopiva löytyy.
Toisen ratkaisun vielä löysin 172x172 laattoja 164x113 kappaletta.
Saumaleveys on pitkällä sivulla 4,8 ja lyhyellä 4,94 mm.
Hain sen sillä perusteella, että saumoihin menisi noin yhden laatan leveys, eli
x(n 1)=29000, ja tuosta sitten x=sqrt(29000)=> x=172 (jostain syystä otin tuon)
No eikös tuossa ole ihan yksinkertainen ratkaisu että laatta saumat kahdella vierekkäisellä sivulla ovat karvan verran alle neliömetrin (siis 20 x 29 laattaa, ja laatta noin 995 mm kanttiinsa). Karvan verran alle takoittaa sitä että saadaan kerrytettyä sen yhden ylimääräisen sauman paksuus. Sauma eri suunnissa olisi siis himpun eripaksuinen. Jos halutaan pienempiä laattoja, laatta sauma 0,25 neliötä, 0,09 neliötä jne käyvät.
noilla arvoilla tulee saumanvahvuuksiksi 4.833 pitkällä sivulla, ja 4.76 lyhyellä sivulla.
Se on melko varmaan suurin mahdollinen ratkaisu.
Tekaisin pienen tietokoneohjelman tämän ongelman ratkaisemiseksi.
Seuraava taulukko antaa laattojen suurimmat mahdolliset mitat:
1 29 / 20 99.51 99.49 - 99.53 0.045
2 58 / 40 49.52 49.50 - 49.54 0.048
3 71 / 49 40.35 40.34 - 40.36 0.020
4 74 / 51 38.72 38.71 - 38.74 0.028
5 84 / 58 34.03 34.02 - 34.03 0.008
6 87 / 60 32.86 32.83 - 32.88 0.049
7 90 / 62 31.76 31.76 - 31.77 0.018
8 97 / 67 29.40 29.40 - 29.40 0.003
9 100 / 69 28.52 28.50 - 28.53 0.034
10 103 / 71 27.69 27.67 - 27.71 0.039
11 106 / 73 26.90 26.90 - 26.91 0.014
12 110 / 76 25.86 25.86 - 25.86 0.001
13 113 / 78 25.18 25.16 - 25.19 0.026
14 116 / 80 24.53 24.50 - 24.55 0.049
15 119 / 82 23.91 23.89 - 23.92 0.032
16 122 / 84 23.32 23.31 - 23.32 0.014
17 123 / 85 23.08 23.08 - 23.08 0.001
18 126 / 87 22.53 22.52 - 22.54 0.022
19 129 / 89 22.00 21.98 - 22.02 0.041
20 132 / 91 21.50 21.48 - 21.52 0.044
21 135 / 93 21.02 21.00 - 21.03 0.029
22 136 / 94 20.83 20.82 - 20.83 0.002
23 138 / 95 20.56 20.55 - 20.57 0.014
24 139 / 96 20.37 20.36 - 20.38 0.019
25 141 / 97 20.12 20.12 - 20.12 0.001
26 142 / 98 19.94 19.92 - 19.96 0.035
27 145 / 100 19.53 19.50 - 19.55 0.049
Ensimmäisessä sarakkeessa on ratkaisun järjestysnumero suurimmasta mahdollisesta laattakoosta alkaen.
Jakolaskumerkillä erotetut toisen ja kolmannen sarakkeen luvut antavat laattojen lukumäärät salin pitkittäis- ja poikittaissuunnassa.
Neljännessä sarakkeessa on tätä vastaava sopiva neliölaatan sivun pituus senttimetreissä.
Miinusmerkillä erotetut viides ja kuudes sarake antavat ala- ja ylärajat laatan sivun pituudelle senttimetreinä. Laatan suositeltu sivun pituus on laskettu näiden keskiarvona.
Viimeiseen sarakkeeseen on laskettu ylä-ja alarajan erotus senttimetreinä. Tämä kertoo sen, millä tarkkuudella laatat on työstettävä, jotta saumanvahvuudet pysyisivät annetuissa rajoissa.
Käytännössä edullisinta tietysti yleensä on, jos joku kaupallisesti saatavilla olevista valmiista laattamalleista sopii annettuihin rajoihin. Mutta kustannuskysymysten pohtiminen ei liittynyt mitenkään annettuun tehtävään.
Huvittavaa, että todelakin tongin erään valmistajan laattakoot ja niitä löytyi:
100x100,300x300, 330x330, 400x400, 450x450, 470x470, 480x480.
Näistä laattakokoista ei näy sopivan muu kuin tuo 100x100, minkä itsekin hyvin työläästi totesin
Heitetäänpä tähän jatkokysymys. Mikä on suurin lattakoko, jota pienemmän laatat käyvät kaikki?