Paperilla on kaksi pistettä (sanokaamme A ja B) , joiden etäisyys on yli 10 cm mutta alle 20 cm. Käytössä on viivoitin, jonka pituus on 10 cm sekä harppi, jolla voi piirtää ympyröitä, joiden säde saa olla enintään 10 cm. Miten voit piirtää janan AB näillä välineillä (Lukion matematiikkakilpailu 2013)
Tehtävässä ei mainittu, onko käytössä tavallista kynää (luultavasti on käytössä, muutenhan janan piirtäminen olisi varmaan mahdotonta.)
Tehtävässä ei mainittu, onko käytössä tavallista kynää (luultavasti on käytössä, muutenhan janan piirtäminen olisi varmaan mahdotonta.)
Vastaukset 43
Vanhimmat
Piirretään ympyrä molempien pisteiden ympärille. Ympyröiden leikkauspisteistä taas piirretään ympyrät. Niiden leikkauspisteet ovat A:n ja B:n kautta kulkevalla suoralla.Ja sitten vain graffitia peliin.
Aika simppeli tehtävä ainakin vanhemman polven asianharrastajille. Voi olla että nykyään lukiokursseissa ei ole noita harppi-viivotin-tehtäviä.
Ei taida olla harppejakaan paljon näytteillä.
Tässä olisi toinen tehtävä tämän vuoden matematiikkakilpailusta:
Yhdellä miljoonasta on eräs harvinainen sairaus. Sairaus voidaan todeta testillä, joka antaa oikean tuloksen 99 prosentin todennäköisyydellä (riippumatta siitä, onko testattava sairas vai terve). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu ihminen on sairas, jos hänen testi on positiivinen.
Jos se testi antaa vastauksen 99% varmasti, tulos on 99% varmasti totta?
Oletetaan että testataan miljoonan ihmisen joukko jossa on yksi sairas. Testi löytää hänet todennäköisyydellä 0,99 eli käytännössä 1. Sen lisäksi testi antaa miljoonan joukosta noin 10 000 väärää positiivista tulosta. Eikös todennäköisyys ole silloin 0,0001, että satunnainen testattava henkilö, joka saa positiivisen tuloksen, on todella sairas.
A="Sairas"
B="Testi positiivinen"
Olettamus: Testi ei riipu siitä miten potilaat valikoituu testin tekijäksi. Tässä tapauksessa umpimähkään testattu henkilö.
P(A ja B)=0,000001x0,99=0,00000099
P(A ja ei B)=0,000001x0,01=0,00000001
P(ei A ja B)=0,999999x0,01=0,00999999
P(ei A ja ei B)=0,999999x0,99=0,98999901
P(B)=P(A ja B) P(ei A ja B)=0,01000098
P(A ehdolla B)=P(A ja B)/P(B)=0,00000099/0,01000098=0,00009899
Kysymys:Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu ihminen on sairas, jos hänen testi on positiivinen.
Vastaus: "Sairaus voidaan todeta testillä, joka antaa oikean tuloksen 99 prosentin todennäköisyydellä (riippumatta siitä, onko testattava sairas vai terve)."
Ei kysytty todennäköisyyttä sille että testi näyttää positiivista JA potilas on sairas.
Kysyttiin todennäköisyyttä sille että umpimähkään valittu ihminen on sairas kun lisäksi tiedetään positiivinen testitulos.
Ajattele se näin 100 miljoonaa ihmistä testaa itsensä, mikä on todennäköisyys että saadaan sairas kun positiivisen tuloksen saaneiden keskuudesta valitaan yksi umpimähkään.
(Keskimäärin nyt) sairaita on 100, heistä positiivisen tuloksen saa 99, terveitä on 99 999 900, joista positiisen tuloksen antaa 999 999. Yhteensä positiivisen tuloksen saaneita on 1 000 099. Näistä arvotaan yksi millä todennäköisyydellä sairas. Vastaus: 99/1000099=0,00009899
Ehdollinen todennäköisyys on vaikea ymmärtää.
Mitä tuo tarkoittaa: Sitä että erittäin harvinaisia tauteja ei kannata yrittää seuloa suurista kansanmassoista noin epätarkalla testillä.
Testi on varsin vakuuttavan tarkka, mutta ei riittävän tarkka jos erittäin harvinaista tautia pidettäisiin kansantautina.
Eli vaikka menisit HIV-testiin, jossa testin valmistaja lupaa 99 prosentin tarkkuuden, testi ei sanoisi käytännössä mitään, jollet toistaisi testiä tuhansia kertoja???
Ja kysymys ei ollut seulonnasta vaan yksi satunnainen tallaaja menee testiin.
Todennäköisyys on mielestäni 99%, jos testin valmistaja niin ilmoittaa.
Mitä saat kaavastasi jos testin antaa tuloksen 100% todennäköisyydellä?
HIV- seulonnan tulos sen suhteen, ettei saada väärää positivista tulosta, on luultavasti parempi kuin 99 %. Ja varmistustesti on ilman muuta tarkempi. Mutta vaikka molempien tarkkuus olisi 99 %, on toisen testin jälkeen virhemahdollisuus 1/10000. Eli ei tuhansia testejä tarvittaisi. Todennäiköisyyslaskennassa ei intuitio anna aina oikeaa tulosta edes hehtaarilleen.
Tehtävä on väärin asetettu. Jos kerran vain yksi kymmenestätuhannesta on loppujen lopuksi sairas, niin väite, että testi antaa oikean vastauksen 99%:ssa taapuksista, ei pidä paikkaansa.
Ajattelepa tapausta, että testattavassa joukossa kukaan ei ole todellisuudessa sairas. Silti testi antaa tulokseksi että joka sadas on sairas.
Ei se tehtävä ole väärin asetettu, kun sen oikein oivaltaa.
Luin netistä että käytettävässä HIV-testissä vääriä positiivisia tuloksia tulee 0,1 % (luotettavuus 99,9 %) ja vääriä negatiivisia tuloksia 0,2 % (luotettavuus 99,8 %). HIV-tartuntojen määrä Suomessa on vähemmän kuin promillella väestöstä. Siten esim. vefrenluovutuksessa tehtävässä HIV-testissä, jos sen tarkkuus on sama kuin edellä, merkitsee positiivinen tulos todennäköisemmin virhemääritystä kuin todellista HIV-sairautta. Todennäköisesti varmistusmittaus tehdään ennen kuin positiivisesta tuloksesta ilmoitetaan testattavalla, jolloin päästään parempaan luotettavuuteen.
Jos testauksen tarkkuus on 99%, se on myös todennäköisyys tilanteessa, jossa mitään muuta tietoa testiryhmästä ei ole.
Jäljelle jääneen 1% epävarmuutta parantaa tieto testausryhmän jakautumasta, eli jos kaikki testattavat ovat sairaita tulos on 99=1% = 100%, jos puolet on sairaita P=99+0.5, jos joka kymmenes P=99+0.1, jne, tässä 99+1/milj.
Miksi käyt täällä matematiikkapalstalla kun et näy ymmärtävän mitään matematiikasta?
Selittäisitkö sitten miten asia oikeasti on, kun mielestäsi osaat matematiikkaa.
Tuo edelläöleva vaikutti aika loogiselta, mikä mielestäsi siinä on väärin ?
Siinä ei ollut päätä eikä häntää. Oikea ratkaisu on selitetty monta kertaa tääsä ketjussa. Väännetääs vielä. Siis testin luotettavuus sekä oikean positiivisen (sairas) että negatiivisen (terve) tuloksen saamiseen on 99 %, siis 1 % testituloksista on virheellisiä molempiin suuntiin. Joka miljoonas on todellisuudessa sairas. Kun aletaan testaamaan, noin joka sadas todetaan sairaaksi, vaikka todellisuudessa hän on terve. Joka miljoonas oikeasti sairas henkilö todetaan 99 % varmuudella sairaaksi. Miljoonassa testattavassa saadaan siis noin 10000 positiivista tulosta terveille ja noin 1 positiivinen tulos oikeasti sairaalle. Sama todennäköisyyslaskenta pätee myös yhdelle satunnaisesti valitulle henkilölle sillä tuo miljoonan henkilön otos edustaa häntä. Kysytty todennäköisyys on siis noin 0,0001.
Koko asetelma lähtee edellä olleissa esityksissä aivan väärästä, kysymys ei koskenut todennäköisyyttä sille, kuinka otos voi sattua tiettyyn joukkoon !
Jo ensimmäinen termi 0.99 x 1/milj. on todennäköisyys sille että otanta sattuu 99 prosentin tarkkuudella miljoonan joukkoon ja siinä juuri yhteen tiettyyn kohteeseen tai vaihtoehtoisesti testi näyttää satunnaisesti 99 % .sti "sairasta" ja osuu juuri tiettyyn kohteeseen miljoonasta.
Kysymyksessä oli lähtökohtana se, että satunnainen otos oli näyttänyt tiettyä tulosta(sairas) 99% .lla varmuudella, ja tämä tarkkuus ei edellytä mitään tietoa joukon suuruudesta tai tapausten jakautumisesta, vaan on testauksen tarkkuus..
Kysymyksen tarkoituksena lienee syventää ymmärrystä todennäköisyydestä ja kuinka se muuttuu kun tiedon määrä otoksesta lisääntyy.
Edellä olleiden laskelmien todellisuus selviää hyvin helposti, kun muuttelee tietoja (esim testin tarkkuutta ja "sairaiden" esiintymistiheyttä aina 100% asti) ja oivaltta sen tosiseikan että otoksen todennäköisyys (tarkkuus) EI VOI pienentyä, jos lähtöasemasta saadaan lisätietoa.
Tässä annettu lisätieto on sairaiden esiintymistiheys, melko mitätön, mutta lisää kuitenkin testituloksen todennäköisyyttä.
Minä laskin tuota määriteltyä tehtävää (Yhdellä miljoonasta on eräs harvinainen sairaus. Sairaus voidaan todeta testillä, joka antaa oikean tuloksen 99 prosentin todennäköisyydellä (riippumatta siitä, onko testattava sairas vai terve). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu ihminen on sairas, jos hänen testi on positiivinen.)
Sinä lasket ihan jotain muuta.
Paljos sait vastaukseksi ?
Tulos on aina tosi 99% todennäköisyydellä.
Kommentti tuon laskelman tarkkuudesta. Jos seulonta antaa oikean todennäköisyyden todennäköisyydellä 0,99, on virhetuloksen todennäköisyys 0,01. Voidaan olettaa että virhetulokselle annetun todennäköisyyden tarkkuus ei ole kovin hyvä, pikemminkin yli kuin alle 10 %. Siten laskelmalle saatu lopputulos 0,00009899 saattaa olla matemaattisesti korrekti mutta käytännössä 0,0001 kuvastaa paremmin testin tarkkuutta.
Mitä saat kun sijoitat kaavaasi testin tarkkuuden 100%?
Tietysti 1, jos on tarkalleen 100 %. Mutta jos on vaikkapa 99,999 %, on tulos noin 0,1. Eli miljoonan ihmisen joukosta löytää keskimäärin kymmenen väärää positiivista ja keskimäärin yhden oikean positiivisen testituloksen.
Pitääpä pohtia laskea ihan oikeasti itsekin.
Löytyi tuollainen
"..
Medical Tests and Bayes' Theorem
Suppose that you are worried that you might have a rare disease. You decide to get tested, and suppose that the testing methods for this disease are correct 99 percent of the time (in other words, if you have the disease, it shows that you do with 99 percent probability, and if you don't have the disease, it shows that you do not with 99 percent probability). Suppose this disease is actually quite rare, occurring randomly in the general population in only one of every 10,000 people.
If your test results come back positive, what are your chances that you actually have the disease?
Do you think it is approximately: (a) .99, (b) .90, (c) .10, or (d) .01?
Surprisingly, the answer is (d), less than 1 percent chance that you have the disease!
Presentation Suggestions:
After discussing the reasons for the surprising probability (below), you should see how changing the parameters affects the outcome. Would the result be so surprising if the disease were more common? How would the probability change if you allow the percentage of false positives and false negatives to be different?
The Math Behind the Fact:
This fact may be deduced using something called Bayes' theorem, which helps us find the probability of event A given event B, written P(A|B), in terms of the probability of B given A, written P(B|A), and the probabilities of A and B:
P(A|B)=P(A)P(B|A) / P(B)
In this case, event A is the event you have this disease, and event B is the event that you test positive. Thus P(B|not A) is the probability of a "false positive": that you test positive even though you don't have the disease.
Here, P(B|A)=.99, P(A)=.0001, and P(B) may be derived by conditioning on whether event A does or does not occur:
P(B)=P(B|A)P(A) P(B|not A)P(not A)
or .99*.0001 .01*.9999. Thus the ratio you get from Bayes' Theorem is less than 1 percent.
The basic reason we get such a surprising result is because the disease is so rare that the number of false positives greatly outnumbers the people who truly have the disease. This can be seen by thinking about what we can expect in 1 million cases. In those million, about 100 will have the disease, and about 99 of those cases will be correctly diagnosed as having it. Otherwise about 999,900 of the million will not have the disease, but of those cases about 9999 of those will be false positives (test results that are positive because of errors). So, if you test positive, then the likelihood that you actually have the disease is about 99/(99 9999), which gives the same fraction as above, approximately .0098 or less than 1 percent!
Note that you can increase this probability by lowering the false positive rate.
Also note that these calculations wouldn't hold if the disease were not independently and identically distributed throughout the population (e.g., in the case of cancer due to familial tendency, environmental factor, asbestos exposure, etc.).
.."
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.6.shtml
Tuossa linkki wikin artikkeliin
http://fi.wikipedia.org/wiki/Bayesin_teoreema
Aika oleva!
.
Jos ei tiedetä taudin esiintyvyyttä, ei voida sanoa millä todennäköisyydellä testin tulos on oikea, vaikka testistä tiedettäisiin miten usein se antaa oikean tuloksen!?
Näin on. Onhan se aika tavallista että pyydetään uusintatesteihin. Aikoinaan tehtiin noita laajoja keuhkokuvauksia tiberkuloosin havaitsemiseksi. Minutkin pyydettiin kerran uusintatestiin mutta ei siellä keuhkoissa mitään ollut.
Esitetyt laskut käsittelevät muuta kuin kyseistä tehtävää.
Kun pelkän testituloksen tarkkuus on 99% jo ilman tietoa sairauden esiintymistiheydestä, niin lisätieto sairauden esiintymisestä parantaa testin todennäköisyyttä, eli todennäköisyys on 99 - 100 % välillä, riippuen siitä kuinka suuri osa tiedetään sairaita olevan.
Sinä luet tehtävää eri tavalla kuin muut. Siinä sanotaan: "Sairaus voidaan todeta testillä, joka antaa oikean tuloksen 99 prosentin todennäköisyydellä (riippumatta siitä, onko testattava sairas vai terve)." Se tarkoittaa että sairauden esiintymistiheys ei vaikuta tuohon itse testin luotettavuuteen, se on 99 % kaikissa tapauksissa (väärä määritys yhdellä sadasta testattavasta).
Minä taas ymmärsin asian niin että testi näyttää 99% varmuudella oikean tuloksen, mutta jakautuman tieto lisää todennäköisyyttä osua oikeaan.
Esim, jos vaikka joka toinen (50%) on sairaita, niin testi näyttää keskimäärin 99 kertaa sadasta oikein, mutta sen kerran väärin näyttäessäänkin voi osua oikeaan 50% todennäköisyydellä, eli todennäköisyys onkin suurempi kuin testin tarkkuus.
Tostahan voisi johtaa esimerkin mukaan niinkin, että jos vain yksi miljoonasta on terve ja testi osoittaa sairaaksi, niin onko todennäköisyys osua oikeaan tässä sama kuin jos vain yksi/milj olisi sairas ?
No ei. Ajatellaan että on sata miljoona testattavaa, niistä sata tervettä ja loput sairaita. Testi antaa yhden positiivisen määrityksen terveille ihmiselle. Noille sairaille se antaa 0,99*999999900= 98999901 positiivista määritystä. Eli kysytty todennäköisyys on 98999901/98999902=0,999999 eli käytännössä 100 %
Todennäköisyys oikeaan osumiseen riippuu siis selvästi jakauman tiedosta
-->
jos et tiedä jakaumaa todennäköisyys on vain se 99 %, jos tiedät , todennäköisyys voi olla jopa 100 % ! !
MOT
Laskut vikaan.
Lopputoteama on oikein, mutta lskut ei oikein osuneet.
Kysytty todennäköisyys on välillä 0-1 sairas-terve-jakaumasta riippuen. Testin luotettavuus ei riipu tuosta jakaumasta.
Miten todennäköisyys voi olla pienenpi kuin testin tarkkuus ?
Juuri edellä todistettiin aukottomasti että jakautuman tieto vaikuttaa oleellisesti todennäköisyyteen.
Jos edelleen olet eri mieltä, niin yritä vakuuttaa ajatelmiasi muutenkin kuin pelkästään inttämällä
Niin kuin tuolla yllä on mainittu, tämä laskelma on selitetty esim. linkissä http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.6.shtml. Kannattaisi tunnustaa tosiasiat eikä jumiutua väärin ajatusmalleihin.
Koko lähtökohta on väärä, niin esityksessäsi kuin linkissäkin.
Olet toistuvasti esittänyt laskentamallia todennäköisyydelle siitä, miten joukosta jossa on vain 1 miljoonasta, suotuisa tapahtuma voisi valikoitua testattavaksi.
Tästä nimenomaan ei ole kyse, vaan testattava on valittu ja testitulos antaa positiivisen tuloksen, siis 99 % sti todettu testattava sairaaksi.
Huomaa edelleen että tähän ei lainkaan vaikuta se , mistä joukosta tai millä todennäköisyydellä, tai mitään muutakaan perusteella tutkittava on päätynyt testiin.
On siis sattumanvaraisesti tai tarkoituksellisesti valittu testattava, joka todetaan 99% sesti sairaaksi.
Tässä ei ole mitään tarkkuuteen tai todennäköisyyteen tarvittavaa laskemista tai spekulaatiota, jatkokysymyksellä herätetään miettimään, muuttuuko todennäköisyys, jos on tarjolla lisätietoa sairauden esiintymistiheydesta
ä ?
Tilastomatematiikka perustuu juuri siihen, miten paljon on tietoa saatavilla ja mahdollisuuksia rajaava lisätieto parantaa aina todennäköisyyttä.
Osaltani tämä saa riittää, toivoton on toivotonta.