Käyrälle y=4/x ,x>0 kohtaan x=a piirretty tangentti rajoittaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Osoita, että kolmion ala ei riipu kohdan a valinnasta.
Pitääkö tässä jotenkin osoittaa että akselien pätkät (eli kolmion kanta ja korkeus) muuttuu samassa suhteessa kun a:ta vaihdellaan. Vai mikä tuossa on ideana? Itselleni nämä todistus- ja osoitustehtävät ovat hieman ongelmallisia kun en aina tajua mitä siinä itseasiassa pitää todistaa
Pitääkö tässä jotenkin osoittaa että akselien pätkät (eli kolmion kanta ja korkeus) muuttuu samassa suhteessa kun a:ta vaihdellaan. Vai mikä tuossa on ideana? Itselleni nämä todistus- ja osoitustehtävät ovat hieman ongelmallisia kun en aina tajua mitä siinä itseasiassa pitää todistaa
Vastaukset 2
Vanhimmat
Vihjeitä:
- Määrää tangentin yhtälö pisteessä (a, 4/a). Siinä tarvitaan mm. funktion 4/x derivaattaa.
- Määrää ne pisteet, joissa tangentti leikkaa koordinaattiakselit.
- Saat kolmion kannan ja korkeuden leikkauspisteiden koordinaateista.
- Lasket kolmion pinta-alan. Mikäli siinä ei esiinny parametria a sievennyksen jälkeen, niin ala ei riipu a:sta.
Lisävihje:
suoran (muttei pystysuoran), kuten tangentin yhtälö on aina muotoa
(y-y0) = k * (x-x0), jossa k on kyseisen tangentin kulmakerroin, ja ko tangentti kulkee pisteen x0,y0 kautta.
Tässä x0 = a ja y0 = 4/x0 = 4/a
y = 4/x = 4*x^-1, joten y:n derivaatta y' voidaan laskea:
y' = 4* (-1) * x^-2 = -4 * x^-2
sijoitetaan x:n paikalle a, jolloin y'(a) = -4/a^2 ja tämähän on tangentin kulmakerroin k
Tangentin yhtälö on siis (y-4/a) = (-4/a^2) * (x-a)
Seuraavaksi selvitetään minkä arvon x saa silloin kun y=0, eli missä tangentti leikkaa x-akselin:
sijoitetaan siis yhtälöön y=0 ja saadaan:
-4/a = -4x0/a^2 4/a, mistä ratkaistaan x0 kertomalla ensin yhtälö a^2
-4a = -4x0 4a => 4x0 = 4a 4a = 8a => x0= 2a
Seuraavaksi selvitetään minkä arvon y saa silloin kun x=0, eli missä tangentti leikkaa y-akselin:
sijoitetaan siis yhtälöön x=0 ja saadaan:
(y0-4/a) = (-4/a^2) * (-a) = 4/a, mistä ratkaistaan y0 lisäämällä molemmille puolille yhtälöä 4/a saaden y0 = 8/a
Nyt tiedetään kysytyn suorakulmaisen kolmion kateetit ja kertomalla ne keskenään ja puolikkaalla saadaan kolmion ala:
Ala = x0*y0/2 = 2a * 8/a / 2 = 8
Sitten toteat ettei Ala riipu a:n arvosta vaan on aina 8 riippumatta a:n valinnasta.