Täällä on käsitelty rakennustekniikassa käytettyä ristimittausta. Asetan mietittäväksi seuraavan tehtävän:
Suorakaiteen muotoisen talon perustusten mittauksessa on jo päästy siihen, että vastakkaiset sivut on saatu yhtä pitkiksi, mutta ristimittauksessa todetaan, että lävistäjät ovat eri pituiset. Miten kulmapisteitä pitäisi siirtaa, jotta pohjaksi tulisi suorakaide?
Tarkennetaan tehtävää. Olkoon talon nykyinen pohja suunnikas, jonka kulmapisteet vastapäivään kierrettäessä ovat A, B, C ja D. Sivujen AB ja CD pituus on a ja sivujen BC ja DA pituus on b. Lävistäjän AC pituus on p ja lävistäjän BD pituus on q.
Olkoon q > p.
Korjataan kulmapisteitä siten, että sivu AB pysyy paikallaan, mutta pisteitä C ja D muutetaan siten, että pohjakuvioksi tulee suorakaide, jonka sivujen pituudet ovat entiset a ja b. Annettava pisteiden C ja ja D muutokset vektorimuodossa (i-akseli on sivun AB suuntainen). Erityisesti on tarkasteltava tilannetta, kun q ja p eroavat vain vähän toisistaan.
Suorakaiteen muotoisen talon perustusten mittauksessa on jo päästy siihen, että vastakkaiset sivut on saatu yhtä pitkiksi, mutta ristimittauksessa todetaan, että lävistäjät ovat eri pituiset. Miten kulmapisteitä pitäisi siirtaa, jotta pohjaksi tulisi suorakaide?
Tarkennetaan tehtävää. Olkoon talon nykyinen pohja suunnikas, jonka kulmapisteet vastapäivään kierrettäessä ovat A, B, C ja D. Sivujen AB ja CD pituus on a ja sivujen BC ja DA pituus on b. Lävistäjän AC pituus on p ja lävistäjän BD pituus on q.
Olkoon q > p.
Korjataan kulmapisteitä siten, että sivu AB pysyy paikallaan, mutta pisteitä C ja D muutetaan siten, että pohjakuvioksi tulee suorakaide, jonka sivujen pituudet ovat entiset a ja b. Annettava pisteiden C ja ja D muutokset vektorimuodossa (i-akseli on sivun AB suuntainen). Erityisesti on tarkasteltava tilannetta, kun q ja p eroavat vain vähän toisistaan.
Vastaukset 5
Vanhimmat
vastaikkeisten kulmien etäisyydet toisistaan tulee olla samat? oisko se sit suorassa?
aika pahan näkönen tuli http://aijaa.com/yORU6X
Tämäpä oli hauska tehtävä.
Yllättävän helposti se ratkesikin, pelkkää Pythagoraan lausetta käyttäen.
Tuo lopputuloksen ilmoittaminen vektorimuodossa on kuitenkin tarpeetonta, jos ajatellaan käytännön sovellusta rakennustyömaalla.
Kerronpas oman ratkaisuni tähän tehtävään.
Mitään trigonometrisia funktioita tehtävässä ei tosiaankaan tarvita. Pelkkä Pythagoraan lause riittää.
Merkitään
h=janoja AB ja CD vastaavien suorien kohtisuora etäisyys toisistaan
x=pisteen C etäisyys janan AB päätepisteeseen B liitetystä normaalisuorasta
y=janoja AB ja CD vastaavien suorien kohtisuoran etäisyyden muutos oikaisun jälkeen =b-h
Pythagoraan lauseen avulla saamme yhtälöparin
p^2=(a-x)^2 h^2
q^2=(a x)^2 h^2
Vähentämällä ensimmäisen yhtälön puolittain toisesta saamme
q^2-p^2=(a x)^2-(a-x)^2=4ax,
josta edelleen
x=(q^2-p^2)/(4a)
Pythagoraan lauseen mukaan saamme edelleen
b^2=h^2 x^2,
josta edelleen
h=sqrt(b^2-x^2)
ja
y=b-h=b-sqrt(b^2-x^2)=b(1-sqrt(1-(x/b)^2))
Tuota y:n lauseketta voidaan sitten approksimoida suhdeluvun x/b=(q^2-p^2)/(4ab) ollessa pieni.
Käytännön kenttätyössä y:n laskemista ei kuitenkaan tarvitse tehdä. Paalutuksen oikaisemiseksi riittää, että lasketaan linjan DC jatkeen x pituus edellä esitetystä helposti muistettavasta kaavasta ja tehdään oikaisu tämän perusteella.
Kun suunnikasta ABCD väännetään suorakaiteeksi, niin pisteet C ja D liikkuvat pitkin ympyränkaaria. Olkoon d kulma joka ilmoittaa sivujen BC ja AD suunnan muutoksen tässä väännössä. Kuten nimimerkki aeija on osoittanut, sin(d) = s = (q^2 - p^2) / (4ab). Näin ollen pistettä C (ja D) siiretään sivun CD suuntaisesti määrä b * sin(d) = (q^2 - p^2)/(4a) ja sitä vastaan kohtisuorasti määrä b * (1 - cos(d)) = b * (1 - sqrt(1 - s^2)), kuten aeija on osoittanut.
Otetaan lausekkeen sqrt(1 - s^2) Taylorin kehitelmästä kaksi ensimmäistä termiä
1 - s^2 / 2, joten kohtisuora siirros on likimäärin b * s^2 / 2. Käytännössä tämä on hyvin pieni mikäli mittamiehet eivät ole olleet pahassa krapulassa.
Esimerkki: Talossa a = 12 m ja b = 9 m. Kulma ABC poikkeaa suorasta kulmasta 0.02 radiaania, eli noin 1,15 astetta. Silloin p = 14,855 m, q = 15,143 m.
Erotus q - p = 28,8 cm. Korjaus suuntaan DC on 18 cm ja kohtisuoraan 1,8 mm, joka voidaan jättää huomioon ottamatta.