Miten ihmeessä seuraava tehtävä ratkaistaan:
Missä ajassa 14-henkinen perhe, syöden kukin perheenjäsen 5 omenaa päivässä, tyhjentää omenakorin, jonka 9-henkinen perhe, syöden kukin 7 omenaa päivässä, tyhjentäisi 3 ja 1/3 päivässä?
Missä ajassa 14-henkinen perhe, syöden kukin perheenjäsen 5 omenaa päivässä, tyhjentää omenakorin, jonka 9-henkinen perhe, syöden kukin 7 omenaa päivässä, tyhjentäisi 3 ja 1/3 päivässä?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Jos 9-henkisessä perheessä jokainen syö 7 omenaa päivässä ja omenia syödään 10/3 päivää niin omenia oli korissa 7*(10/3)*9 = 210.
Nyt 14-henkisessä perheessä jokaiselle tulee tehtäväksi syödä 210/14 = 15 omenaa. Jos omenia syödään 5 päivässä, tarvitaan päiviä 15/5 = 3 omenien syömiseen.
Hieno vastaus.
Kiitos siitä.
Tuosta ratkaisustahan voidaan tietysti olla montaa mieltä. Opetustilanteessa ongelmana olisi se, ettei siitä noin pikaisesti ratkaistuna jäisi oppilaille mitään mieleen. Tehtävään kannattaisi siis käyttää enemmän aikaa. Didaktisesti oikein homma hoidettaisiin seuraavalla tavalla.
Opettajan kannattaa kirjoittaa taululle ensin lähtötilanne:
9 henkilö ... 7 omenaa/vrk ... kori tyhjeni 10/3 päivässä
14 henkilö ... 5 omenaa/vrk ... kori tyhjenee x päivässä
Ajatellaan ensin, että päivittäin syötyjen omenien lukumäärä/henkilö on sama. Koska 9 henkilöä tyhjentää korin aikaa 10/3 päivässä, niin yksi henkilö käyttää siihen enemmän aikaa eli 9*(10/3) = 9*10/3 päivää.
Koska yksi henkilö tyhjentää omenakorin 9*(10/3) päivässä, niin 14 henkilöä tekee saman siihen 14. osassa siitä eli
(9*10/3):14=9*10/(3*14)
päivässä.
Oletetaan tämän jälkeen, että henkilöitä on koko ajan 14 ja päivittäin syötyjen omenien määrä vaihtelee. Jos päivässä syödään seitsemän omenaa, niin aikaa menee
9*10/(14*3) päivää.
Jos päivässä syödään yksi omena, niin korin tyhjentämiseen tarvitaan 7 kertaa niin paljon aikaa eli
7*(9*10/(10*14))=7*9*10/(10*14)=3 päivää.
Viiden omenan päivien lukumäärä saadaan tästä viidellä jakamalla eli näitä päiviä on
x=(7*9*10/(10*14))/5=7*9*10/(5*10*14))=3.
Päättely tiivistettynä:
9 henkilöä ... 7 omenaa/pv … 10/3 pv
1 henkilö ... 7 omenaa/pv … 9*(10/3) pv
14 henkilöä ... 7 omenaa/pv … 9*10/(14*3) pv
14 henkilöä ... 1 omena/pv … 7*9*10/(14*3) pv
14 henkilöä ... 5 omenaa/pv … 7*9*10/(5*14*3) = 3 pv.
Kun tehtävä ratkaistaan tällä tavalla yksityiskohdat huolellisesti läpikäyden, voivat parhaimmat oppilaat muistaa sen käsittelyn kirkkaasti vielä vuosikymmenienkin kuluttua.
On valitettavaa, että kouluissa tuhlataan nykyään edelleenkin, muka tietotekniikkavalmiuksien parantamiseksi, aikaa jonkun joukko-opin ja logiikan alkeiden opettelemiseen, kun sitä voitaisiin käyttää tällaisten todellisessa elämässä paljon hyödyllisempien asioiden opiskeluun.
Tuo ratkaisu on niin pitkä ja sekava että tuskin kukaan nykyoppilas jaksaa seurata sitä. Selkeimmin yhtälöllä:
9 h * 7 o/h*p * 10/3 p = 14 h * 5 o/h*p *x
Jos tuo ratkaistaan päättelyketjuna, loogisemmalta tuntuisi seuraava:
Päättely tiivistettynä:
9 henkilöä ... 7 omenaa/pv … 10/3 pv
1 henkilö ... 7 omenaa/pv … 9*(10/3) pv
1 henkilöä ... 1 omenaa/pv … 7*9*(10/3) pv
14 henkilöä ... 1 omena/pv … 7*9*10/(14*3) pv
14 henkilöä ... 5 omenaa/pv … 7*9*10/(5*14*3) = 3 pv.
Tässä on kysymys tehtävän ratkaisemisesta kansakoulun päätöslaskun mukaisella tavalla.
Kun Kansallisarkiston historiallisen sanomalehtikirjaston, ks.
http://digi.kansalliskirjasto.fi/sanomalehti/secure/query.html
hakutoimintoon naputtelee termin 'päätöslasku', niin varhaisimmat asiaan liittyvät lehtiartikkelit löytyvät vuodelta 1868. Siis ajalta, jolloin kansakoulujärjestelmää luotiin Suomeen. Tämä oli sitä Uno Cygnaeuksen aikaa (siitä kunnianimi 'Uuno') ja tuo termi näyttäisi liittyvän Ernst Bonsdorffin nimeen. Kansakoulujärjestelmästä siirryttiin Suomessa peruskouluun 1960 ja 1970-lukujen vaihteessa. Kuinka kukaan uskaltaa väittää, että tämän tyyppisten tehtvien ratkaisemista opetettiin Suomen kouluissa väärällä tavalla noin sadan vuoden ajan?
Aikansa kutakin. Kansakoulussahan ei edes opetettu algebraa joten tuollainen yhtälöön perustuva ratkaisu ei ollut siellä mahdollinen. Jos tuollaista pitkäpiimäistä päätöslaskua yrittäisi nykykoulussa, lahjakkaimmat turhautuisivat koska he oivaltaisivat paljon helpomman ratkaisukonstin. Ja vähemmän lahjakkaat eivät jaksaisi seurata. Paljon on muuttunut, vielä minun aikanani opetettiin paljon geometriaa joka nyt on jäänyt lähes kokonaan pois. Ja varmaan hyvästä syystä, sillä nykytekniikka ei enää tarvitse sellaisia taitoja.
Tässä näkyy olevan sama lasku kuin läheisessä ketjussa "Miksi alli komplisoi" ja sisältämässä Solmu-lehden linkissä) ja hieman turhanaikaista kiistelyä päälle (tapaan onko lasi puoliksi tyhjä vai puoliksi täysi) siltä kannalta, miten "jo jotenkin osaava" loogisesti ajattelee. Toinen asia on, missä laajuudessa ja miten nykyajan koulussa matemaattisia asioita pitäisi opettaa, sitähän on eri tavoin kokeiltu koko peruskoulun historian ajan.
"Yhtälö on selkeä". No, onhan se jälkikäteen näennäisesti. Mutta pitää se yhtälö osata ensin muodostaa, esim. tässä: miksi pitää kertoa 9:llä, ja seiskalla, ja miksi pitää jakaa 14:llä ja vitosella. Täsmälleen samat vaiheet tulee ajateltavaksi kuin ennenkin eli jotakuinkin yksi lysti, tekipä niin tai näin. Koskee siis laskun oleellista puolta.
Anekdootti esimerkki toisenlaisesta: aikanaan kansakoulussa oleelliselta tuntui kun pääsi kirjoittamaan vihkoon laskun lopuksi, että V=42 (toivoen tietysti että vastaus 42 on oikein).
Oppikoulussa piti arvata merkitä, että Vastaus:42 tai V:42, en muista rokotettiinko siitä ja miten jos vastausmerkintään laittoikin yhtäsuuruusmerkin :)