Mitä on projisointi ?

Olisko ollut tehtävä projisoida vektorin määräämälle suoralle?

Projektio
http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/tangnorm4.html

Projisointi, no sehän on sellaista vain näin yksinkertaisesti sanailtuna: eli projisoit eli kuvittelet jonkun asian, omassa mielessäsi, näin mielessäsi projisoit sen.l

EI tarkoita välttämättä 3D-elokuvia.

Vektori määrittää suoran V, joka kulkee origon kautta. Asetetaan pisteen kautta suora, joka leikkaa suoraa V suorassa kulmassa. Tämä leikkauspiste on annetun pisteen projektio suoralla V.

Ei taida olla ihan lukiokurssia, mutta onko mahdollista tehdä tuo projisointi jollakin matriisilla? Ts. onko olemassa vakiomatriisia, joka antaa tuloksena vektorin projektion suoralla?

> onko mahdollista tehdä tuo projisointi jollakin matriisilla?

On. Näin siksi että lineaarinen yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa.
Johdanto. Olkoon y=ax vektorin määrittämä suora, (x0,y0) projisoitava piste ja (x1,y1) projektiopiste. Tällöin projisoitavan ja projektiopisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin on -a. Muodosta suoran yhtälö ja esitä muodossa jossa yltälön oikealle puolelle jää vakio. Lisäksi tiedetään että y1=ax1, sillä projektiopiste sijaitsee vektorin määrittämällä suoralla. Eli siis y1-ax1 = 0. Tämä onkin se toinen yhtälö tarvittava neliömatriisin muodostamiseksi.

Olkoot 3-vektorit x=(x1,x2,x3) ja y=(y1,y2,y3). Tämän voi yleistää mielivaltaisille ulottuvuuksille. Muodostetaan normeerattu vektori z=(z1,z2,z3)=y/sqrt(y1^2 y2^2 y3^2), missä sqrt(.) on neliöjuuri ja (.)^2 tarkoittaa korottamista toiseen potenssiin. Helposti nähdään, että ||z||=sqrt(z1^2 z2^2 z3^2)=1. Projektio saadaan laskemalla sisätulo eli pistetulo

w=x*z=x1*z1 x2*z2 x3*z3

ja tämä tarkoittaa sitä suuruutta vektorista x, joka on y:n suuntainen.