Tässä pari vuotta takaperin luvattiin taas miljoonia Goldbachin konjektuurin osoittamisesta oikeaksi tai vääräksi, mutta mistään en löytänyt mainintaa miten kilpailussa kävi..onko konjektuuri edelleen todistamatta?
(Annoin tuossa taannoin yhden työkalun konjektuurin osoittamiseksi, mutta ainuttakaan vastausta ei siihen tullut.. onko kukaan pyöritellyt antamaani kaavaa yhdessä muiden kanssa?)
(Annoin tuossa taannoin yhden työkalun konjektuurin osoittamiseksi, mutta ainuttakaan vastausta ei siihen tullut.. onko kukaan pyöritellyt antamaani kaavaa yhdessä muiden kanssa?)
Vastaukset 21
Vanhimmat
Ihan vain kaiken varalta...;)
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000003805059
Olen mukana hommassa heti, jos ryhdyt funtsimaan ko. tehtävää tosissasi.
En tosin tiedä, onko ko. tehtävä ratkaistu. Hopefully not.
Pyörittelen ongelmaa aina silloin tällöin, voi olla ettei ratkaisua löydy, mutta loppujen lopuksi Fermat'n teoreemakin ratkaistiin vain "yksinkertaisilla" ahaa -elämyksillä. Tässäkin on kyse vain siitä, miten ongelmaa tulisi lähestyä. Tietokone on korvaamaton apu, mutta toisaalta jo kynällä ja paperillakin saa ihmeitä aikaan! Antamani kaava on hyvin yleinen, mutta se on varsin yksinkertainen lähtökohta: voin ratkaista (OSITTAIN! painotin tätä sanaa ennenkin..) alkulukujen minimimäärän jollakin mielivaltaisella välillä 0....x. Tällä hetkellä suuret tietokoneet kokeilemalla etsivät suuria uusia alkulukuja ja testaavat sitten luvun löydettyään, ovatko kaikki edelliset parilliset luvut kahden alkuluvun summia. Mutta aina vain kokeilemalla, taikka erastotheneen seulalla etsitään uusia lukuja sen enempää kiinnittämättä huomiota muihin asioihin, kuten esim. voisiko joitakin ajatuksia, kuten konjektuurin itsensäkin pukea lauseen muotoon. Antamani kaavahan oli Godbackin konjektuuri kaavamuodossa. Ongelma olisikin jo ratkaistu, jos tuon toisen kommentin laittaja olisi ollut oikeassa, eli yhtälö ei toimisi suurilla luvuilla...Jos haluatte matemaatikot mailailla, niin tässä yksi osoite: [email protected], mistä annan myöhemmin toisen osoitteen...sen jota todella käytän.=) Näin turhan roskan ja sähellyksen välttämiseksi..
Alkuperäinen kaavasihan palautuu muotoon
(summa{h=1, n} h )/ k, koska (n yli 2) palautuu muotoon n(n 1)/2 eli on n:n ensimmäisen luvun summa. Nyt kun mietit "suuria" arvoja, niin k on itse asiassa muotoa 2t (parittomia voi olla yksi vähemmän tai enemmän riiipuen nollan mukanaolosta), eli kaava palautuu muotoon n*(n 1)/t, missä t on lukujen lukumäärä.
Mietipäs siitä eteenpäin, itse uskaltaisin väittää, että kaava ei toimi tarpeeksi suurilla arvoilla
Tiesin tuon jo ennestäänkin, mutta kiitoksia kuitenkin. Aluksi aloitin yksinkertaisesti taulukon teolla, mihin listasin kaikki tunnetut todella suuretkin alkuluvut. Alkulukujen minimäärät käyttäytyivät samoin kuin luonnollisetkin, syntyvä käppyrä oli "porrasteinen", ts.: seuraava vaihe olisi yrittää vääntää käppyrä jonkinlaiseksi kaavaksi, mikä onnistunee, sillä kuvaajassa on selviä säännönmukaisuuksia. Asiaa vaikeuttaa -kuten arvata saattaa- se, ettei vieläkään ole minkäänlaista kaavaa, joka tuottaisi ainoastaan alkulukuja -siten kuin ne todellisuudessa esiintyvät.
(toinen havainto, mistä tuskin on hyötyä: kaksi alkulukua: abc ja def. Niiden summaksi tulee parillinen luku ghi, eli abc def=ghi. Vielä sadoissa miljoonissakin pätee: a b c d e f=g h i. -tämä ei luultavasti kuitenkaan päde ikuisuuksiin asti, mutta mitenkäs osoitat? Vastaavanlaisia tehtäviä on matematiikan historiassa pyöritetty ennenkin, mutta nyttemmin ei enää tarvitse...)
Jos yhtälö ei toimisi suurilla luvuilla, ei konjektuuri pitäisi paikkaansa. Annettu yhtälö on konjektuuri kaavamuodossa. (Eli jos joku nyt osoittaa ettei lause päde käytännössä, on Goldbachin konjektuuri osoitettu vääräksi!)
Hei. Käsittääkseni tämä binäärinen Goldbachin konjektuuri (jokainen parillinen luku > 2 voidaan esittää kahden alkuluvun summana) on tosiaan yhä avoin probleema.
Ratkaisuideasi sai minut hieman pohtimaan seuraavanlaisia asioita.
Mikäli käsitin ideasi oikein, tarkastelet n:n ensimmäisen alkuluvun joukkoa S, ja johdat sitten kaavan sille, kuinka monta parillista lukua saadaan summaamalla näistä jotkin kaksi keskenään. Sitten päättelet, että jos konjektuuri on voimassa, niin tällaisten lukujen määrän suhde välillä 0,...,x olevien parillisten lukujen määrään on välttämättä suurempi kuin yksi.
Mikä tässä on x? Käsitin, että sen täytyisi olla suurin parillinen luku, joka on esitettävissä alussa annetun alkulukujoukon S kahden luvun summana.(siis toisin sanoen 2 kertaa joukon suurin alkuluku) Mutta tällöinhän saattaa käydä niin, että joukossa 0,...,x on myös sellaisia parillisia lukuja, jotka saadaan summaamalla vaikkapa n 1:s alkuluku ja jokin joukon S luku.
No, olen saattanut käsittää x:n merkityksen väärin. Toisaalta haluaisin tietää, ottaako kaava huomioon sen, että Goldbachin konjektuuri ei suinkaan väitä, että parillisen luvun esitys alkulukujen summana olisi yksikäsitteinen, eikä näin olekaan, esimerkiksi 50 = 7 43 = 19 31 ja 52 = 5 47=23 29. Siis joukon S alkioita summaamalla saadaan kyllä (n yli 2) erilaista summaa a b ( n kpl kun lukuja ynnätään itsensä kanssa), mutta niiden arvot eivät aina ole erisuuria, ts. (n yli 2) n ei välttämättä ole S:n alkioita parittain summaamalla saatavien erilaisten parillisten lukujen lukumäärä.
Toivottavasti en vaikuttanut ylikriittiseltä, tarkoitus oli vain selventää, ymmärsinkö periaatteen oikein.
Ainoa miten tällä keinolla voi todistaa jotain konjektuurista olisi että voitaisiin osoittaa että noiden summien (n yli 2 n) määrä on jollain x:llä pienempi kuin 0..x olevien parillisten lukujen määrä jolloin jollekin parilliselle luvulle ei ole kahden alkuluvun summaparia.
..jo tuossa aiemminkin, että tarkastelen yleensäkin väliä 0 >jonnekin. x saa olla siis kuinka suuri tahansa. Vastaavalla tavalla toin tarkastella jotakin tiettyä väliä x1>x2. Samoilla x:n arvoilla toimivat esimerkiksi eräät alkulukugeneraattorit. Muutaman löytää, kun pistää hakusanaksi vaikka "matematiikkaa lukiolaisille", tai pelkän "alkuluvut". Sääli sinällään, että vaikka ohjelmat tuottavat alkulukuja aluksi ihan oikein, niin myöhemmin mukaan tulee ylimääräisiä lukuja.. Erastotheneen seula lienee edelleenkin se yksinkertaisin menetelmä alkulukujen etsimiseksi.
Omista laskelmissani pyöritän alkulukutiheyksiä ja vertailen siis keskenään "todellista" ja ennustettua minimitiheyttä. Aiemmin jo selitinkin, että kyseisillä kuvaajilla on yhteinen muoto, vastaavasti NÄYTTÄISI siltä, että alkulukujen lukumäärä pienenee mitä pitemmälle mennään (logaritmisesti), mutta vastaavastihan ne suurenevat. Toisaalta voihan tietysti olla, että jossakin kohtaa alkulukujen tiheys muuttuu vakioksi ja osittain tätäkin olen hakemassa. Jos alkulukutiheys olisi vakio, niin konjektuuri pitäisi paikkansa.
Sehän lämmittäisikin mieltä jos yhtälö ei pätisi suurilla luvuilla, kuten tuo ensimmäinen kommentoitsija sanoi: silloinhan konjektuuri ei pitäisi paikkaansa, vai mitä? Vaan kun ei, niin ei..ei vastaus tule aivan NIIN helposti..
..Eli löytää edes yksi parillinen luku, joka EI ole kahden alkuluvun summa!
Goldbackin konjektuuri kuuluu: "Jokainen parillinen luku on kahden alkuluvun summa."
"Aiemmin jo selitinkin, että kyseisillä kuvaajilla on yhteinen muoto, vastaavasti NÄYTTÄISI siltä, että ALKULUKUJEN LUKUMÄÄRÄ pienenee "...
..korvatkaa sanat "alkulukujen lukumäärä" sanalla "alkulukutiheys"! Eihän lukumäärä mihinkään pienene! Hyvä minä..
uudestaan lähtötilanteen (eli asetetun ongelman) ja sen, mitä olet itse kehitellyt?
Ja selitys ois mukava saada mukaan, että tiedetään, missä mennään.
Katso aiempi kohta "linkki aloittamaani keskusteluun".
Ei toisteta useaan kertaan samoja asioita..
Kyse on siis loppujen lopuksi ongelman tarkastelemista kahdelta "rintamalta": teoreettiselta ja todelliselta. Teoreettisella rintamalla tarkoitan etukäteen tehtäviä ennusteita esim alkulukutiheydestä, summatiheydestä, tietyllä välillä olevasta pienimmästä alkulukujen lukumäärästä, jne. Näitä ennusteita verrataan sitten "todelliseen" tilanteeseen.
Yksinkertaisin konsti tarttua ongelmaan on laskea ns. "summatiheys" R, joka ilmaisee montako (kahden alkuluvun muodostamaa) summaa kutakin parillista lukua kohden on. Summatiheyden pienimmän arvon on oltava 1, eikä koskaan sen alle. Muutoin konjektuuri ei pidä paikkaansa.
Kaavan voit johtaa itsekin:
Montako summaa voidaan n:stä alkuluvusta tehdä? Tämän suhde parillisten lukujen lukumäärään on oltava vähintään yksi, jolloin yhtä parillista lukua vastaisi yksi ja vain yksi alkulukusumma.
(Alkulukusumma= lasketaan kaksi alkulukua yhteen. Alkuluvut voivat olla samoja.)
Tässä jo pari onkin tiedustellut tuota tehtävän antoa. Olen taaempana antanut linkin aloittamaani keskusteluun, missä on pari työkalua joilla ongelmaa on helppo lähteä pyörittelemään.
Ongelmanahan siis on todistaa -tai osoittaa vääräksi- otaksuma, että JOKAINEN KAHTA SUUREMPI PARILLINEN LUKU ON (AINA) KAHDEN ALKULUVUN SUMMA.
tuossa siis ongelma jota käsitellään.
Kun Christian Goldbach lähetti Eulerille kirjeensä, hän esitti seuraavanlaisen väittämän:
Jokainen viittä suurempi luku on kolmen alkuluvun summa. Tätä kutsutaan Goldbachin heikoksi konjektuuriksi, mikä on tosi, jos vahva konjektuurikin on tosi. Ehkä olisikin helpompi yrittää ratkaista ensin tämä ja vasta sitten käsitellä "laajempaa" ongelmaa..?
Taas esim. 6 saadaan yhden alkuluvun summalla 2 2 2. En tiedä onko kyseessä käännökukkanen vai tyhmästi muotoiltu väite, mutta kun ottaa niin päähän tuommonen jäätyminen. Pilkkutouhua, mut kuitenki
2 on kyllä yksi alkuluvuista, mutta lauseessa tarkoitetaankin kolmea kappaletta alkulukuja, eli 6 saadaan kolmen alkuluvun summana, joista kukin on 2. Vastaavasti 4 saadaan kahden alkuluvun summana: 2 2 jne. Selkenikö mitä tarkoitetaan?
Ja tilannehan olisikin toinen, jos lauseessa olisi sana ERI. "Jokainen kahta suurempi parillinen luku on kahden ERI alkuluvun summa." Näin ei kuitenkaan ole, eli ei ERI -sanaa.
R eli summatiheys kasvaa logaritmisesti ylöspäin mentäessä. Kun x=välin numero (1. väli 0...10, 2.väli 0...20 jne), niin R noudattaa melkoisen tarkkaan yhtälöä R=R(oletus,=2)*x^(1/A), missä
A=alkulukusuhde. Samasta yhtälöstä voidaan laskea, montako alkulukua milläkin alueella suunnilleen (eli /- 1) on. Esimerkiksi välille 0...20 ennustus on 8, mikä on täsmälleen sama kuin todellinenkin arvo. Vastaavasti välille 0..1 000 000 ennustus on 25 149 alkulukua, ja niin edelleen. Seuraava vaihe on jonkin mielivaltaisen välin 0...x suurimman alkuluvun ennustaminen.
Kun vaaka-akselina on n:s alkuluku ja pystyakselina 1/alkuluku, on kuvaaja muotoa y=ax^b, missä a ja b ovat vakioita. b on likimain 1/alkulukusuhde.
Mitä olivat ne matemaattiset ongelmat, joiden ratkaisijalle on luvattu miljoonia. Nm. Rahikan teoria näyttää hyvältä ja sen todistaminen lienee mahdollista, joskin vaikeaa? (Aika harva on kuitenkaan vaivautunut lukemaan kohtaa "linkki...", sillä siellä kävijöitä oli vain reilut 200, mutta tässä reilut 1100 -mihin lie viittaa..)