miten ratkaistaan niinkin "yksinkertainen" diofantoksen yhtälö, kuin 2x 3y=1
Minulta ei suju edes tämä, kun en tajunnut ideaakaan D;
Minulta ei suju edes tämä, kun en tajunnut ideaakaan D;
Tarviin apua Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseen
matikkaa
4162
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Lineaarisessa kahden tuntemattoman Diofantoksen yhtälössä tulee etsiä ensiksi yksi ratkaisu. Tästä näkee jo korvalla, että jos (x,y)=(x_0,y_0)=(-1,1), niin yhtälö toteutuu. Koska (2,3)=1, on yhtälön 2x 3y=1 kaikki ratkaisut muotoa x=-1 3t,y=1-2t, missä t on kokonaisluku. Tässä käytetyn lause todistuksineen on esitetty osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/lukuteoria2011.pdf kohdassa 9.
Jos tuota yksittäistä ratkaisua ei huomaa, sen voi laskea Eukleideen algoritmilla. Tämä on valmiiksi ohjelmoitu sivulla http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
Kovasti näyttäisi olevan suoran yhtälön vektorimuoto r= ro ts, ja siitä saatava parametrimuoto.
ro on paikkavektori johonkin tunnettuun pisteeseen, ja s on suoran suuntavektori t(3i-2j), eli
xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1-3t, y=1-2t
Olisikin parempi kun puhuttaisiin (ja opetettaisiin ainakin paremmin) vaan suoran yhtälöistä ja niiden muuttamisesta muodosta toiseen. Diofantoksen yhtälöt voidaan heittää vasemman olkapään ylitse, ainakin lukiossa.
Sitten kun osataan suoran käsittely voidaan Diofantoksen yhtälöt tarvittaessa ratkaista niillä tiedoilla.
(Sama pätee kolmen muuttujan Diofantoksillekin, silloin vaan käsitellään tason yhtälöitä ja suuntavektoreita, silloin on tosin tiedettävä/haettava kokeilemalla kolme tason pistettä.)
xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1 3t, y=1-2t
Minusta tämä lähestymistapaa olisi hassu, koska kaikkien Diofantosten yhtälöiden ratkaisut eivät ole suoralla. Esimerkiksi yhtälön y^2=x^4 x^3 1 ratkaisut ovat (x,|y|)=(-2,3), (-1,1), (0,1) ja (2,5). Moni saattaisi helposti luulla, että tuollainen vastaavuus yleistyy epälineaarisille Diofantoksen yhtälöille.