Fysiikkaosastolla oli esitetty omgelma, ja ratkaisukin on neuvottu.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4500000000000543&posting=22000000003996275
Omalla kohdallani matematiikan rutiini kuitenkin horjahtelee sen verran, että tulos ei ole selvinnyt, niin että voisiko joku ysrävällisesti kertoa kuinka kyseinen yhtälö ratkaistaan, ja mikä on tulos.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4500000000000543&posting=22000000003996275
Omalla kohdallani matematiikan rutiini kuitenkin horjahtelee sen verran, että tulos ei ole selvinnyt, niin että voisiko joku ysrävällisesti kertoa kuinka kyseinen yhtälö ratkaistaan, ja mikä on tulos.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Koko yhtälö on käsittämätön ja eihän siinä ole edes ongelmaa, mitä ratkaista. En ymmärtänyt selostuksesta mitään ja hallitsen sentään mekaniikan ja matematiikan. Siinä tehdään sitäpaitsi vaarallisia oletuksia. Samassa yhtälössä esiintyy v ja a eli voisi olettaa liikkeen olevan kiihtyvää, jolloin v ei ole vakio ja yhtälö on hieman heikolla jäällä. Lähtisin mieluiten määritelmistä ja johtaisin yhtälöt erikseen. Ei kannata menettää usko, kun en minäkään ymmärtänyt.
Jos olen ymmärtänyt asian oikein, niin ratkaistava yhtälö on kai
P = ds/dt * m * ( g d^2s/dt^2 ).
Kun s = 1m, t =1s ja m= 75 kg , g = 9.81m/s^2 niin tuosta pitäisi ratkaista P .
Tuo on kyllä niin pahasti epälineaarinen differentiaaliyhtälö, että huh huh. Yritin ketjuderivointia sun muuta, mutta tolleen äkkiseltään olisi varmaan parempi ajatella jotain energiamenetelmiä tai numeerista yhtälön ratkaisua. Jos olet alle korkeakoulutasolla, niin älä edes yritä, sillä siinä menee hermot ja mielenterveys. Itsekin aion jättää kesken, kun en edes tiedä koko tehtävänantoa.
ds/dt=s'(t)
d^2s/dt^2=s''(t)
=> P=s'(t)m(g s''(t))
P/m=s''(t)*s'(t) gs'(t)
s(t)=s(homogeenine)(t) s(yksityis)(t)
Homogeeninen yhtälö
s''(t)*s'(t) gs'(t)=0
Tälle pitäisi sitten löytää jokin ratkaisu, mutta mikään "raamatuistani" ei tunne tuon tapaista yhtälöä eikä edes symbolilaskentaohjelma anna jäkevää analyyttistä ratkaisua. Yksityisratkaisu olisi sitten helppo löytää yritteellä s(t)=A. Homma kaatuu kuitenkin tuohon yhtälöön, että kyllä se vähän näyttää pahalta ilman numeerista laskentaa. Sitten kun s(t) olisi saatu, siitä voisi kuvitella saavan P:n ulos, mutta täytyy myöntää, että nyt ei onnistu tuon ratkaisu. Pitäisi varmaan kysyä proffalta, kun ensi kerralla olen luennolla.
Olipa taas mainio osoitus maamme opetuksen tasosta.
Teekkari täällä esittelee tekniikan ja matematiikan laajaa osaamistaan, mutta kun saa eteensä ensimmäisen käytännön ongelman, niin ei edes ymmärrä mistä on kysymys, ja kun se rautalangasta väännetään, niin sitten alkaa ainoastaan onnettomat selitykset.
Älä sentään masennu, eiköhän täältä palstalta löydy oikeita osaajiakin, joten malta hetkinen.
Se yhtälö on tosiaan todella kimurantti, vaatii numeerista laskentaa (tietokone), enkä tosiaan löytänyt alkuperäistä tehtävää.
PS. Kuinka nopeasti saat ratkaistua kaikki YO-tehtävät, siis pitkän? Että tällee.
Ongelmaa ei ole väännetty rautalangasta, en ole tosin ehtinyt tutustua siihen täysin, mutta ei riitä, jos tiedetään yksi alkupiste sillä yhtälö vaatii integrointia alueessa.
Nyt löysin alkuperäisen probleeman, täytyy miettiä, kun jossain välissä on aikaa. Tuo tosiaan näyttää mahdolliselta ratkaista myös ilman mitään suuria teorioita. Sen sijaan viittaamasi maolista kaivettujen kaavojen yhdistelmän järkevyydestä en ole aivan varma, täytyy miettiä, yritän tällä viikolla, jos kerkeän.
Tunnetustihan P=dT/dt(liike-energian aikaderivaatta), tästä päätellen P on pienin, kun liike-energia kasvaa hitaiten. Voisi siis päätellä, että nopeuden muutoksen pitäisi olla hidasta. Tästä tulemme siihen, että on suotavaa, että a=vakio siis pienin mahdollinen. Eli on kiihdytettävä kappaletta tasaisesti loppuun asti, sillä muutoin pitäisi alkuun olla suurempi kiihtyvyys ja lopussa antaa mennä itsekseen. Aluksi kiihtyvyys s=1/2at^2 => a=2 m/s^2 =>v=at=2 m/s (siis loppunopeus) P=Fv=m(g a)v=1771W (noin)=2,38hp.
Olen hieman varautunut tämän suhteen, mutta toinen vaihtoehto on alkaa kehittää numeerista mallia ratkaisulle ja se on kyllä työlästä. Jos tehtävä on napattu jostain muualta kuin "university physicsistä" niin luultvasti tuo on vastaus.
No onhan tuokin yksi yritys yrittää luovia ongelmasta.
Krissehän kai kysyi tuon yhtälön laskentaohjeita.
Tämän lisäksi näyttää, että tekniikan tietämyksesi on suunnilleen samalla tasolla.
Tuohon ongelmaan on vähemmälläkin koulutustasolla esitetty vakiokiihtyvyyttä, koska sen avulla pääsee helppoon ratkaisuun, mutta johtaa täysin väärään tulokseen, ja vähänkin asiaa ymmärtävä ei edes viitsisi esittää tuollaista vastausta.
2.38 hp ? ? ? ?...
Ja mitä tarkoittaa lyhenne hp , tarkoitatko englantilaista tehoyksikköä hp, joka on n.76 kpm/s, vai metrijärjestelmän hv (hk, ps), joka on 75 kpm/s .
ps täällä on useassakin yhteydessä tullut esiin nimi maol, ilmeisesti kyse on jostakin teoksesta, voisiko joku valaista lisää
Se yksikkö on hp eli brittiläinen horse power.
MAOL=MAOL-taulukko
Ja hyvä on annetaan sen diffiksen ratkaisuohjeet, ei johda kyllä mihinkään yksinkertaiseen juttuun.
Olen edelleen melko varma siis melko varma, että a=vakio. Toisaalta sen saisi selville, jos hakkaisi numeerisenratkaisun diffikselle(ei analyyttistä ratkaisua, ei ainakaan helppoa ja luultavasti ei ollenkaan), mutta ei nyt jaksa alkaa ja täytyy myöntää, että voisi mennä metsäänkin se yritys. Olisi kiva jos sinä kuitenkin perustelisit oman näkökantasi jotenkin, sillä kaikki vain jauhavat, että ei ole vakio, vaikka ei ole esittää muutakaan.
Ensiksi pari sanaa ongelmasta itseatään.
Nimim. Ollen esittämä oletus, että maksimitehon tarve on pienin, kun käytetään koko ajan samaa tehoa, on mielestäni oikea, sillä jos jossakin vaiheessa teho olisi pienempi, niin jossakin toisessa kohtaa tehon pitäisi olla vastaavan verran suurempi saman energian aikaansaamiseksi, ja ongelman asettelussahan haetaan arvoa, jossa tämä hetkellinen maksimiteho on pienin.
Näin ollen ratkaisuksi esitettyä yhtälöä voitaneen pitää oikeana.
Yhtälön ratkaisu ei ole kaikkein helpoimmasta päästä, mutta harvemmin täällä kyselläänkään mitään yksinkertaisia juttuja.
Yhtälöhän oli
P = ds/dt * m * ( g d^2s/dt^2 ).
Tuommoisena sen ratkaisu on lähinnä toivotonta, joten yksinkertaistetaan vähän.
Eli ensimmäisenä sijoitetaan :
ds/dt =v
d^2s/dt^2 = dv/dt
P/mg = A
Ja yhtälöstä tulee :
A = v * ( 1 v' /g)
Tämä on separoituva yhtälö, jonka ratkaisu on;
t = - v/g - A/g * ln ( v -A ) c
Ja kun t = 0 , niin v = 0 ja ratkaistaan c niin :
t = - v/g - A/g * ln ( 1 - v/A )
(kieltämättä vietin hetken miettimällä noita etumerkkejä, mutta eivät ole väärin)
Edelleen jos jatketaan palauttamalla v = ds/dt , saatais ratkaisu, mutta tässä vaiheessa nostan käteni pystyyn, koska taitoni ei riitä matemaattiseen ratkaisuun.
Siis ratkaisua on haettava toista kautta, johon on olemassa yksinkertainen tie.
Koska nopeuden, ja ajan keskinäinen riippuvuus on selvillä, niin matkahan on käyrän , ja aika-akseln rajoittama pinta-ala, ja kun aika rajoitetaan 1 sekuntiin, niin jäljelle jää vain A.n määrittely siten , että matkaksi tulee 1 m.
Tämä on helppo homma ratkaista tietokonetta käyttäen ja olettaisin että esim nimimerkille "Jo vain " tämä olis pelkkää rutiinia.
Itseltäni valmiit ohjelmat puuttuu mutta ratkaisuksi sain
P = 778 W
Kun noilla arvoilla katselee aika/nopeus diagrammia, niin huomaa, että nopeus 1m/s saavutetaan noin 0.25 sekunnin kuluttua, ja 1s kohdalla nopeus on n. 1.057 m/s, ja käyrä on lähes vaakasuora, eli kiihtyvyyttä ei juuri enää ole.
Tämä viimeinen ominaisuus antaa mahdollisuuden tarkistaa laskun likimääräisen oikeellisuuden, energiaperiaatteella.
Ensin tarkistetaan riittääkö teho loppunopeuteen
siis v max = 778W/(75kg * 9.81m/s^2) = 1.0574 m/s = ok.
Sekunnin aikana on tehty työtä, joka on
m*g*h m*v^2/2
eli potentiaalienergia 75*9.81*1 =736 J , ja liike-energia 75*1.057^2/2 = 42 J
ja summan pitäs täsmätä tulokseen.
Toivottavasti tästä nyt oli jotain apua, mutta parempaan en minä pysty, ja jos edelleen olet sitä mieltä että pienenpään tulokseen pääsee jos a = vakio, niin se vaatii kyllä vahvat perustelut.
Taidat olla oikeassa, näyttää ainakin pikaisesti katsoen hyvältä. En jaksa tarkistaa, mutta täytyy kai se uskoa. Yksinkertaiset ratkaisut ovat kauniita, mutta kun on aina tottunut menemään läpi siitä vuoresta vaikka 20 tunnin työllä, niin noita ei aina hoksaa. Sitä viimeistä diffistä tuskin edes voi ratkaista analyyttisesti(näyttää hirveältä). Nostan hattua, päihitit minun teorian.
No noinhan se tietysti, kiitos vastauksesta.