todistustehtävä aritmeettisesta sarjasta

Yritetään nyt osoittaa se siten, että lasketaan sen sarjan summa kahdella tavalla, tiedä sitten onko se sitten yleispätevää, vaiko vain liian hankalaa:


http://aijaa.com/YYD1EF

Aritmeettisen sarjan n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on sarjan ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.

Tässä sarjassa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Sarjan toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Sarjan kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5

Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen sarjan määritelmään ja heti nähdään, että:

Kyseessä on aritmeettinen sarja, jonka eka termi on (2m 1), ja jonka d=2, eli

n:s termi on (2m 1) ((n-1)2).

Tarkistetaan laskemalla kymmenes termi: (2m 1) (9*2)=2m 19
ja sama termi virallisesti: (m 10)^2-(m 9)^2= 20m 100-18m-81=2m 19

Paikkansa pitää aritmeettinen sarja ainakin positiivisilla luvuilla. Pitäisi varmaan osoittaa paikkansa pitävyys myös negatiivisilla luvuilla, tai pitää se tietenkin vaikka m olisikin negatiivinen.

Onkohan tuossa mennyt sekaisin aritmeettiset lukujonot ja sarjat? Ja yleispätevässä todistuksessa ei riitä että todetaan säännönmukaisuus joillakin luvuilla.
Positiivisilla kokonaisluvuilla n 1 ja n tuo erotus (n:s erotus) on
(n 1)^2 - n^2 = 2*n 1
Voidaan myös kirjoittaa muotoon 1 n*2 eli nuo erotukset muodostavat aritmeettisen lukujonon jonka ensimmäinen termi on 1 ja perättäisten termien erotus on 2.
Sama saadaan negatiivisilla kokonaisluvuilla:
(-n-1)^2 -(-n)^2 = 2*n 1 (n on positiivinen kokonaisluku)