Osoita yleispätevästi, että peräkkäisten kokonaislukujen neliöiden erotukset muodostavat aritmeettisen sarjan.
Apuja kaivattaisiin!
Apuja kaivattaisiin!
todistustehtävä aritmeettisesta sarjasta
jajwuwb
477
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Yritetään nyt osoittaa se siten, että lasketaan sen sarjan summa kahdella tavalla, tiedä sitten onko se sitten yleispätevää, vaiko vain liian hankalaa:
http://aijaa.com/YYD1EF
Aritmeettisen sarjan n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on sarjan ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Tässä sarjassa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Sarjan toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Sarjan kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen sarjan määritelmään ja heti nähdään, että:
Kyseessä on aritmeettinen sarja, jonka eka termi on (2m 1), ja jonka d=2, eli
n:s termi on (2m 1) ((n-1)2).
Tarkistetaan laskemalla kymmenes termi: (2m 1) (9*2)=2m 19
ja sama termi virallisesti: (m 10)^2-(m 9)^2= 20m 100-18m-81=2m 19
Paikkansa pitää aritmeettinen sarja ainakin positiivisilla luvuilla. Pitäisi varmaan osoittaa paikkansa pitävyys myös negatiivisilla luvuilla, tai pitää se tietenkin vaikka m olisikin negatiivinen.
On tässä vähän säätämistä.
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on jonon ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Meidän jonossa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Jonon toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Jonon kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Jonon n:s termi on: (m n)^2-(m n-1)^2= 2m-1 2n
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen jonon määritelmään:
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), eli tulee:
a ((n-1)d)= 2m-1 2n
a-d nd=2m-1 2n
Tuosta tulee yhtälöpari:
a-d=2m-1
nd=2n=>d=2, ja a=2m 1
Näin ollen se meidän erotuksista syntyvä jono pystytään vääntämään
aritmeettisen jonon muotoon, ja sen aritmeettisen jonon n:s termi on:
(2m 1) (n-1)2,
(m on joku kokonaisluku, ja jos nyt laitetaan m=0 , tulee jono 1,3,5,7...
jos laitetaan m=-2, tulee jono: -3,-1,1,3...
jos laitetaan m=-5, tulee jono: -9,-7,-5,-3...
jos laitetaan m=5, tulee jono: 11,13,15,17...)
Onkohan tuossa mennyt sekaisin aritmeettiset lukujonot ja sarjat? Ja yleispätevässä todistuksessa ei riitä että todetaan säännönmukaisuus joillakin luvuilla.
Positiivisilla kokonaisluvuilla n 1 ja n tuo erotus (n:s erotus) on
(n 1)^2 - n^2 = 2*n 1
Voidaan myös kirjoittaa muotoon 1 n*2 eli nuo erotukset muodostavat aritmeettisen lukujonon jonka ensimmäinen termi on 1 ja perättäisten termien erotus on 2.
Sama saadaan negatiivisilla kokonaisluvuilla:
(-n-1)^2 -(-n)^2 = 2*n 1 (n on positiivinen kokonaisluku)