Osoita yleispätevästi, että peräkkäisten kokonaislukujen neliöiden erotukset muodostavat aritmeettisen sarjan.
Apuja kaivattaisiin!
todistustehtävä aritmeettisesta sarjasta
jajwuwb
4
53
Vastaukset
- aeija
Yritetään nyt osoittaa se siten, että lasketaan sen sarjan summa kahdella tavalla, tiedä sitten onko se sitten yleispätevää, vaiko vain liian hankalaa:
http://aijaa.com/YYD1EF - 9+8
Aritmeettisen sarjan n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on sarjan ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Tässä sarjassa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Sarjan toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Sarjan kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen sarjan määritelmään ja heti nähdään, että:
Kyseessä on aritmeettinen sarja, jonka eka termi on (2m 1), ja jonka d=2, eli
n:s termi on (2m 1) ((n-1)2).
Tarkistetaan laskemalla kymmenes termi: (2m 1) (9*2)=2m 19
ja sama termi virallisesti: (m 10)^2-(m 9)^2= 20m 100-18m-81=2m 19
Paikkansa pitää aritmeettinen sarja ainakin positiivisilla luvuilla. Pitäisi varmaan osoittaa paikkansa pitävyys myös negatiivisilla luvuilla, tai pitää se tietenkin vaikka m olisikin negatiivinen.- 9+8
On tässä vähän säätämistä.
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on jonon ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Meidän jonossa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Jonon toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Jonon kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Jonon n:s termi on: (m n)^2-(m n-1)^2= 2m-1 2n
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen jonon määritelmään:
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), eli tulee:
a ((n-1)d)= 2m-1 2n
a-d nd=2m-1 2n
Tuosta tulee yhtälöpari:
a-d=2m-1
nd=2n=>d=2, ja a=2m 1
Näin ollen se meidän erotuksista syntyvä jono pystytään vääntämään
aritmeettisen jonon muotoon, ja sen aritmeettisen jonon n:s termi on:
(2m 1) (n-1)2,
(m on joku kokonaisluku, ja jos nyt laitetaan m=0 , tulee jono 1,3,5,7...
jos laitetaan m=-2, tulee jono: -3,-1,1,3...
jos laitetaan m=-5, tulee jono: -9,-7,-5,-3...
jos laitetaan m=5, tulee jono: 11,13,15,17...)
- 7+17
Onkohan tuossa mennyt sekaisin aritmeettiset lukujonot ja sarjat? Ja yleispätevässä todistuksessa ei riitä että todetaan säännönmukaisuus joillakin luvuilla.
Positiivisilla kokonaisluvuilla n 1 ja n tuo erotus (n:s erotus) on
(n 1)^2 - n^2 = 2*n 1
Voidaan myös kirjoittaa muotoon 1 n*2 eli nuo erotukset muodostavat aritmeettisen lukujonon jonka ensimmäinen termi on 1 ja perättäisten termien erotus on 2.
Sama saadaan negatiivisilla kokonaisluvuilla:
(-n-1)^2 -(-n)^2 = 2*n 1 (n on positiivinen kokonaisluku)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1303554
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi943269- 172408
Kyllä poisto toimii
Esitin illan suussa kysymyksen, joka koska palstalla riehuvaa häirikköä ja tiedustelin, eikö sitä saa julistettua pannaa281841"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu"..
"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu".. Näin puhui jo aikoinaan Jeesus, kun yksi hänen opetuslapsistaan löi miekalla221698Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O151569Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak181534Haluan tavata Sinut Rakkaani.
Olen valmis Kaikkeen kanssasi...Tulisitko vastaa Rakkaani...Olen todella valmistautunut tulevaan ja miettinyt tulevaisuu291486Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.181451Hermo mennyt sotealueeseen?
Nyt hammaslääkäriaika peruttiin neljännen kerran. Perumiset alkoi tammikuussa. Nyt uusi aika elokuulle!????841400