Tarkastellaan funktiota f(x)=1/(ln(x))^1000.
Integroidaan funktio f(x) Neperin luvusta e (luonnollisten logaritmien kantaluku) äärettömään.
Kysymys kuuluu, suppeneeko tämä integraali?
Jos ei suppene, niin miten tämä voidaan helpoimmin todistaa?
Jos suppenee, niin millaisen arvon integraali saa, tai miten sitä voidaan arvioida?
Integroidaan funktio f(x) Neperin luvusta e (luonnollisten logaritmien kantaluku) äärettömään.
Kysymys kuuluu, suppeneeko tämä integraali?
Jos ei suppene, niin miten tämä voidaan helpoimmin todistaa?
Jos suppenee, niin millaisen arvon integraali saa, tai miten sitä voidaan arvioida?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Vertaa tuota funktiota funktioon 1/x, joka tunnetusti ei suppene kun integroidaan äärettömään. Jos valitaan vaikkapa x=e^a, saadaan (ln(x))^1000=a^1000. Kun a kasvaa kyllin suureksi, e^a > a^1000 eli hyvin suurilla arvoilla tarkasteltava integraali antaa suurempia arvoja kuin 1/x integraali.
Vielä tuo että e^a > a^1000; yhtäpitävää on että a > 1000*lna ja noin on kun a:n arvo on esim. > 10 000, koska myös derivaatoille pätee sama suuruusjärjestys. Koska 1/x integraali äärettömään ei suppene vaikka integrointi aloitetaan mistä tahansa äärellisestä luvusta, pätee sama kyseenä olevalle funktiolle.
tossa http://math.oulu.fi/materiaalit/luentorungot/Analyysin_kertausta/integrointi.pdf
sivulla 19 on joku vertailuperiaate ja sijoituksella y=lnx päästään:
integral 1 to infinite (e^y/y^1000)dy, ja sitten tuosta vertailuperiaatteesta voi jotain irrota
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim y to infinite , e^y/y^1000 ääretön , eli se alkuperäinen ei ainakaan suppene
Tuolla vertailuperiaatteella ei tässä ole mitään tekemistä, mutta jos tuon saa muutettua integraaliksi 1 to infinite (e^y/y^1000)dy, niin välillä 1---ääretön tuo integroitava funktio saa ensin arvon 1, kun y=1, sitten se pienenee ja kohdassa y=1000 se saa pienimmän arvonsa (e/1000)^1000, mutta ei mene ikinä nollaan.
Sen jälkeen se lähtee kasvamaan ja lim y lähenee ääretöntä,( e^y/y^1000 )on ääretön, (sen saa käyttämällä tuhannen kertaa Hospitaalia, jolloin tulee (e^y/1000!), ja tuohon sijoittamalla y=ääretön tulee ääretön.)
Määrätty integraali on pinta-ala, ja välillä y=1---ääretön, tuo pinta-ala on ääretön, joten tuo funktio hajaantuu, eli se alkuperäinenkin hajaantuu.
Niin, jos vähän tarkemmin katsoo, nuo kaksi esitettyä ratkaisua ovat olennaisesti samat, vähän eri tavalla esitettynä.