Inversio-ongelma, mitä tarkoittaa?

http://wiki.helsinki.fi/display/inverseproblems/Home
http://youtu.be/EhWMWiu5Jhs

Inversio-ongelmassa yritetään löytää ilmiöiden aiheuttajat havaitun mittausaineiston perusteella. Esim. tiedät, että neliön pinta-ala on 2 ja haluat selvittää sen sivun pituuden. Neliön pinta-ala A = s^2, missä s on etsittävä sivun pituus. Saadaan siis yhtälö s^2 = 2, jolle löytyy tietysti kaksi ratkaisua ja - neliöj. 2. Käyttämällä tietoa, että s on epänegatiivinen, saadaan lopuksi yksi ratkaisu s = neliöj. 2.

Vaikeimmissa inversio-ongelmissa tiedetään esim. luonnonlakeja kuvaavat differentiaaliyhtälöt (vert. A = s^2) ja (joitakin) ratkaisuja niille (vert. A = 2). Ongelmana on selvittää oikeat parametrit kyseisille yhtälöille.

Mikäli inversio-ongelmat kiinnostaa, niin toki niihin kannattaa erikoistua. Itse olen myös vasta aloittanut matematiikan opinnot, mutta en vielä tässä vaiheessa vaivaa päätä tällaisten asioiden miettimisellä.

Kuten nm. joupou totesi, aloittavan matematiikan opiskelijan ei kauheasti tarvitse miettiä, mihin hän haluaa suuntautua. Perus- ja aineopintojen runko on melko samanlainen kaikissa yliopistoissa (DI-linjoilla voi kuitenkin erota jonkin verran, sillä tavoitteena on usein sovellettu matematiikka eli tilastotiede, mallintaminen yms.).

Inversio-ongelmat ovat Suomessa vahva tutkimusala, johon suuntautuminen voi olla hyvä ratkaisu. Inversio-ongelmatkin voidaan karkeasti jakaa kahteen kategoriaan: analyysi ja laskennalliset menetelmät. Laskenallisella puolella löytyy paljon sovelluksia mm. lääketieteestä, geofysiikasta jne., ja menetelmät ovat tilastotiedettä, ohjelmointia ja jonkin verran matematiikan sekä sovelluksen tuntemusta. Analyyttiset ongelmat ovat taas puhtaasti matemaattisia, tällöin tulee hallita todella hyvin erilaisia teorioita (lineaariavaruudet, mittateoria, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, differentiaaligeometria yms.) ja matemaattista päättelyä (aksioomat/määritelmät-todistukset). Analyyttiset tulokset ovat harvoin suoraan sovellettavissa, mutta ongelmien ratkaisut ovat hienoja matemaattisia saavatuksia.

Summa summarum, inversio-ongelmat ovat monipuolinen ala. Kannattaa kuitenkin kokeilla analyysia, algebraa, logiikkaa, tilastotiedettä, ohjelmointia ja fysiikkaa yms., niin tietää mikä kiinnostaa. Uskoisin, että motivoituneille opiskelijoille löytyy paikkoja alalta kuin alalta.

Olen kirjoittanut graduni inversio-ongelmiin liittyen: http://tampub.uta.fi/handle/10024/95897 Ei tosin kannata säikähtää, jos se tuntuu vaikealta, koska teksti on kirjoitettu matematiikan yliopisto-opinnot suorittaneelle lukijalle (tai vastaavat tiedot). Siitä voi saada kuitenkin jonkinlaisen kuvan millaisia asioita ala käsittää.