Okei, tehtävä on siis tällainen: "Kuinka pitkä ajomatkan tulee olla, jotta keskinopeuden nostaminen 80 km/h:sta 85 km/h nopeuteen lyhentää ajomatkaan kuluvaa aikaa 15 min?"
Olen tässä yhtälöparin kautta päässyt siihen asti, että näyttää tältä:
s/80 - s/85 = 0,25h.
Miten tästä jatketaan? Pienemmän luvun kanssa voisi lähteä laventamaan samannimisiksi, mutta en kyllä tästä tiedä. Ahdistaa.
Olen tässä yhtälöparin kautta päässyt siihen asti, että näyttää tältä:
s/80 - s/85 = 0,25h.
Miten tästä jatketaan? Pienemmän luvun kanssa voisi lähteä laventamaan samannimisiksi, mutta en kyllä tästä tiedä. Ahdistaa.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Yhtälösi on aivan oikein. Sen ratkaisutekniikka ei varsinaisesti riipu nimittäjien suuruudesta, on aivan sama onko siellä 2 ja 5 vai 80 ja 85. Olit siis aivan oikeilla jäljillä lavennusidean kanssa.
Jos et keksi parempia laventajia, niin lavenna 1. 85:llä ja 2. 80:llä. Tällainen "ristiinlaventaminen" toimii aina, kun yhtälössä on kaksi nimittäjää, vaikka joskus voi helpommallakin lavennuksella selvitä.
Tästä yhtälö sitten ratkeaakin pienellä loppurutistuksella.
Jos laventaminen tuntuu ylivoimaiselta, niin kertoimet 1/80 ja 1/85 voi laskimella muuttaa desimaaliluvuiksi. Tämä tapa voitaisiin ottaa käyttöön myös muutenkin peruskoulussa, koska siellä ilmeisesti murtolukujen käsittely on mahdotonta oppia.
En kyllä kannata tuota desimaaliluvuksi muuttamista. Kyllähän ennen opittiin murtoluvuilla laskeminen, ovatko nykyiset oppilaat tyhmempiä?
Ei tuossa tehtävässä tarvitse etsiä nimittäjien yhteisiä tekijöitä vaan voi ottaa niiden tulon yhteiseksi nimittäjäksi:
s/80 - s/85 = 0,25 (ei tule antaa ajan yksikköä kun ei nopeudenkaan)
(85*s-80*s)/(80*85) = 0,25
5*s = 0,25*80*85 = 1700
s = 340 (km)
Fyysikko ratkaisisi tehtävän kenties näin:
Ajatellaan, että samalla hetkellä, kun itse lähdet liikkeelle 80 kilometrin tuntinopeudella kohti määränpäätäsi, joku ystäväsi lähtee kävelemään sinua vastaan viiden kilometrin tuntinopeudella. Ystäväsi koordinaatistosta tarkastellen lähestytte nyt toisianne 85 kilometrin tuntinopeudella etäisyytenne ollessa alussa sama, kuin lepokoordinaatistossakin. Ystäväsi poimit kyytiisi 15 minuuttia (=0,25 h) ennen kuin saavutte perille. Yhdessä ehditte nyt ajella 0,25 h * 80 km/h = 20 km. Tämän matkan ystäväsi ehti siis kävellä sinua vastaan ja viiden kilometrin tuntinopeudellaan hän käytti tähän matkaan neljä tuntia. Itse ehdit ennen ystäväsi kohtaamista ajella 4h * 80 km/h = 320 km:n matkan. Kaikkiaan matkaa oli siis 340 km.
Minusta on helpompi päätellä ilman tuota kävelijää, vaikkapa näin. Koko ajaoaikana hitaampi auto jäisi nopeampaa jälkeen matkan 80*0,15=20 (km) kun ajaa omalla nopeudellaan. Tuo on osuus 5/80=16 hitaamman koko ajomatkasta, joka on siis 320 km. Nopeamman ajomatka on siis 340 km.
Siis
5/80 = 16
5=80x16
5=1280
0=1280-5
0=1275
0=1
Tästä voimmekin sitten päätellä logiikan mukaan mitä tahansa.
Joo, kerrankos sitä käy että sormet kirjoittavat ihan eri asiaa kuin aivot ajattelevat. Otetaan uusiksi. Hitaampi auto tulee perille 0,25 h myöhemmin, siinä ajassa se kulkee 20 km. Tuo 20 km on autojen ero kun nopeampi tulee perille. Ja tuo 20 km on matka jonka nopeampi auto kulkee hitaamman auton koordinaatistosta katsottuna koko ajoaiknaan, kun se kulkee 5 km/h. Saman aikana hitaampi auto kulkee matkan (80/5)*20 km = 320 km. Ja yhteensä siis 340 km.
Näistähän on varmaankin piirretty kaikenlaisia kuvaajiakin, ja tätä voisi pähkäillä (vk,t)-koordinaatistossa, ja saisi vähän erilaisemman ratkaisun:
http://aijaa.com/sgkGcE
Onpa näppärä kundi! Superplussat!