Työnsivät sitten tällaisen harjoitustehtävän:
Todista ||x-y||>=||x||-||y|| jokaiselle x,y e Rn
(nuo tuplaviivathan merkkaavat normia)
Olen melkein saanut sen ratkaistua (eihän se kovin vaikea ole), mutta mietin että eivätkös epäyhtälön ||x|| ja ||y|| ole skalaareja ts. ||x||,||y|| e R? Eli niiden neliö on ||x||^2-2||x||||y|| ||y||^2
Väitehän saadaan muokattua sisätulon ominaisuuksia käyttäen muotoon
||x||^2 ||y||^2-2||x||.||y|| ||y||^2 >(edellämainittu neliö). Epäyhtälön oikean puolen viimeinen termihän sisältää pistetulon (eikö?) ja se voidaan lausua |x||y|cos a ?
Edelleen muokaamalla saadaan cos a =< 1 joka on aina tosi. MOT.
Eikö?
Todista ||x-y||>=||x||-||y|| jokaiselle x,y e Rn
(nuo tuplaviivathan merkkaavat normia)
Olen melkein saanut sen ratkaistua (eihän se kovin vaikea ole), mutta mietin että eivätkös epäyhtälön ||x|| ja ||y|| ole skalaareja ts. ||x||,||y|| e R? Eli niiden neliö on ||x||^2-2||x||||y|| ||y||^2
Väitehän saadaan muokattua sisätulon ominaisuuksia käyttäen muotoon
||x||^2 ||y||^2-2||x||.||y|| ||y||^2 >(edellämainittu neliö). Epäyhtälön oikean puolen viimeinen termihän sisältää pistetulon (eikö?) ja se voidaan lausua |x||y|cos a ?
Edelleen muokaamalla saadaan cos a =< 1 joka on aina tosi. MOT.
Eikö?
Vastaukset 13
Vanhimmat
En nyt näin yön synkeinä tunteina ihan suoraan hoksaa, miksi väite saataisiin "sisätulon ominaisuuksia käyttäen muotoon
||x||^2 ||y||^2-2||x||.||y|| ||y||^2 >(edellämainittu neliö)." Ja epäyhtälön eri puolien neliöintikin näyttää vähän kyseenalaiselta keinolta. Ei ole nimittäin takeita, ettei oikea puoli olisi negatiivinen.
Mutta mietipä normin määritteleviä ominaisuuksia. Käyttämällä erästä niistä tehtävä on yhden rivin juttu.
Edelleen kaipaan vastausta kysymykseen, että eikö ||x||.||y|| (pistetulo R^n:ssä) ole toisin merkittynä ||x||||y||cos a. En oikein hallitse tätä abstraktia ajattelua ja n-ulotteisuus hieman hämmentää. Ja lisäksi haluaisin varmennuksen siihen, että ||x|| ja ||y|| ovat skalaareja (reaalilukuja)
Todettakoon vielä, että mainitsemani epäyhtälön oikean puolen negatiivisuus ei vaikuta mihinkään, koska tässä tapauksessa se ei johda ongelmiin. Vasen puoli on aina nolla tai sitä suurempi, ja oikea puoli on nolla, sama kuin vasen tai vasemman puolen vastaluku. Kaikissa tapauksissa lukujen neliö on sama.
Tämä kuuluisa epäyhtälö sanoo seuraavaa:
|x*y|
"-- eikö ||x||.||y|| (pistetulo R^n:ssä) ole toisin merkittynä ||x||||y||cos a."
Ei. Normit ||x|| ja ||y|| ovat tosiaan pelkkiä reaalilukuja. Pistetulo taas on vektoreille määritelty laskutoimitus. Merkintä x.y olisi tuo kosinin sisältävä lauseke.
Käsitteleekö tehtäväsi normia yleensä vai jotain erityistä normia? Vaikkapa euklidista normia ||x|| = Sqrt(x1^2 ... xn^2)? Nimittäin normin yleisestä määritelmästä ei kyllä seuraa, että käsittelemäsi epäyhtälön oikea puoli olisi ollessaan negatiivinen välttämättä vasemman vastaluku. Tosin en kyllä keksinyt tähän hätään esimerkkiä tilanteesta, jossa oikean puoli olisi itseisarvoltaan suorastaan vasenta suurempi ;-)
Kommentoikaahan muutkin asiaa, jos tulee apuja mieleen.
"||x||.||y|| (pistetulo R^n:ssä) ole toisin merkittynä ||x||||y||cos a"
Ei ole, kuten jo mainittiin, koska:
"varmennuksen siihen, että ||x|| ja ||y|| ovat skalaareja (reaalilukuja)"
Kyllä.
Mitä alkuperäiseen todistustehtävään tulee, se voisi mennä jotenkin näin. Sisätulosta ei tarvita tuota kosinihässäkkää mihinkään, vaan voidaan laskea suoraan:
Väite oli siis: ||x-y|| >= ||x|| ||y||
Vasen puoli toiseen korottamalla saadaan:
||x-y||^2
=
=
>= ||x||^2 - 2|| ||y||^2
>= ||x||^2 - 2||x|| ||y|| ||y||^2
= (||x|| - ||y||)^2
, joka on oikean puolen neliö. En nyt sitten jaksanut pohtia, haittaako oikean puolen mahdollinen negatiivisuus asiaa millään tavalla. No, jätetään se kotitehtäväksi...
Kiitos kaikille, jotka ovat laajentaneet matemaattista tajuntaani.
Olisihan se pitänyt itsekin tajuta, ettei ||x||.||y|| ole läheskään mikään kosinihässäkkä. Tuo Cauchy-Schwartz auttoi eteenpäin. Itsekin olin sitä miettinyt, mutta vasta nyt tajusin miten C-S auttaa tehtävän ratkaisussa.
Toistaiseksi olen tyytynyt ajattelemaan normia vain euklidiselta näkökannalta, kuten se meille esiteltiin. Muut normin määritelmät eivät tulleet mieleenikään (koska en niitä tajua).
Muistaakseni kosini R^n:ssä (n>3), määritellään juuri pistetulon avulla. Siinä tapauksessa edes vektoreiden x ja y pistetulo ei olisi tuota muotoa. Vai osaako joku määritellä kosinin R^n:ssä ilman pistetuloa?
Kyllä standardisisätulo eli pistetulo voidaan määritellä x.y = |x|*|y|*cos(a), jossa a on vektorien x ja y välinen kulma. Kulma a on pelkkä reaaliluku oli vektoriavaruuden ulotteisuus mikä tahansa. Siis avaruuden R^n ulotteisuus n ei vaikuta vektorien välisen kulman määritelmään eikä kosinifunktioon mitenkään.
En ymmärrä, mitä tarkoitat kosinilla R^n:ssä, Kap-pa. Tosin olen ennenkin tullut syöneeksi tyhmyyspillereitä, joten selvennä ihmeessä ;-)
Niinpä niin, en tiedä osaanko perustella kovin hyvin, mutta voin yrittää. Sanoin aikaisemmin vain jotakuinkin samat sanat, jotka sain itse kuulla demonstraattorilta, kun ratkaisin R^n:n sisätulotehtävän kosinin avulla. :-)
Eli kaikessa yksinkertaisuudessaan, minulle ei ole lainkaan selvää, mikä olisi kahden vektorin välisen kulman kosini vaikka R^7:ssä. Ovatko vektoreiden väliset kulmat samanlaisia, kun ulottuvuuksia on enemmän? Juuri noista hahmotusvaikeuksista johtuen ymmärsin, että useamman ulottuvuuden kulmien kosini määritellään cos(a) := (u.v)/(||u||*||v||) . Mutta kuten sanottua, en ole oikea mies tätä perustelemaan. Toivottavasti jollain on tyhjentävä vastaus.
Kaksi ei-yhdensuuntaista n-ulotteista vektoria x ja y virittävät aina R^n:n kaksiulotteisen aliavaruuden, siis tason. Kolmiulotteisen aliavaruuden virittämiseen tarvitaan kolmas vektori, neliulotteisen neljäs, jne.
Kahden ei-yhdensuuntaisen vektorin x ja y välinen kulma voidaan tulkita näiden vektorien välisenä kulmana tuolla vektorien virittämällä tasolla. Ts. kulma vektorien x ja y välillä on vektoreiden ulottuvuudesta riippumatta niiden välinen kulma eräällä kaksiulotteisella tasolla. Siis tilanne ei eroa kaksiulotteisesta tapauksesta muuten kuin siten, että vektorien virittämä taso ei välttämättä ole juuri se tuttu xy-taso.
Kun nyt otetaan kosini tästä kulmasta, ollaan joka tapauksessa ottamassa kosinia jostain reaaliluvusta. Ei ole tarvetta määritellä kosinifunktiota mitenkään uudelleen, sillä reaaliluku on reaaliluku kuvattiin sillä sitten kulmaa xy-tasolla tai jollain muulla kaksiulotteisella tasolla.
Nyt on kolme vaihtoehtoa: (1) joko demonstraattori on ollut väärässä (2) sinä, Kap-pa, olet ymmärtänyt väärin tai (3) minä olen ymmärtänyt asian aivan pieleen. Toivottavasti joku kertoo, mikä vaihtoehto on oikea ;-)
Ensimmäisenä opiskeluvuotena on vielä lukio-opit tuoreessa muistissa. Siellä cos on aina ollut konkreettiseen kulmaan sidottu. Mitä on kulma n-ulotteisessa avaruudessa? Jos tehtävänä on vääntää rautalangasta tämä kulma minulle, niin miten sen tekee? Kaksi- ja kolmeulotteisessa tapauksessa tämä on helppoa, arkielämässä näkee jatkuvasti kulmia ja joutuu niiden kanssa kosketuksiin. Jos cos ennen määriteltiin viereisen kateetin pituuden suhteeksi hypotenuusaan, taikka sitten pistetulona cos(a)=/(||x||||y||), niin ottamalla kummastakin puolesta käänteisfunktion, saadaan kulma a.
Kulma on määritelty n-ulotteisessa avaruudessa näin. Mutta voiko sitä konstruoida mielekkäästi tässä todellisuudessa? Ensin opetetaan, että kulma on kahden puolisuoran väliin jäävä tason osa, asia, jonka voi helposti piirtää tai siitä kuuluisasta rautalangasta vääntää. Sitten yht'äkkiä konkreettisuus katoaa.
(Kyllä kyllä, lapsellista nousta fiksuja väitteitä vastaan jos voi edes aavistuksen verran sanoa asiasta ymmärtävänsä, mutta itseään ei voi muuttaa.)
Alan kallistua kannallenne tässä pistetulokysymyksessä.
Ymmärtääkseni edellisen viestin määritelmäni kahden n-ulotteisen vektorin kulmalle on edelleen aivan ok, mutta nyt huomaan sen olevan käyttökelvoton tässä yhteydessä. Kosinin laskeminen noin määritellystä kulmasta ei nimittäin onnistu ilman sisätuloa. Siis parasta määritellä R^n:n kulma arkuskosinina luvusta x.y/(||x|*|y||). Tällöin päättely x.y = ||x||*||y||cos(a) on sama kuin kirjoittaisi x.y = x.y, aivan kuten Kap-pa mainitsi.
Korjata saa edelleen, jos sössin jotain =)
> Siis parasta määritellä R^n:n kulma arkuskosinina luvusta x.y/(||x|*|y||).
Minusta tämä taas kuulostaa vähän epämääräiseltä. :)
Taisit olla juuri sinä, joka puhuit siitä, että n-ulotteisessakin avaruudessa kaksi vektoria virittävät aina 2-ulotteisen vektorialiavaruuden, ts. tason. Ja tässä tasossa kulma on siis aivan "tavallinen" kulma, ja kosini voidaan laskea kolmiosta tai potenssisarjasta tai miten kukin nyt parhaaksi näkee. Pääasia kuitenkin on, että kosini on kuvaus R -> [-1,1].
Jos ajatellaan kulmaa R^3:ssa, eikö silloin tarkoiteta avaruuskulmaa? En ole siihen pahemmin perehtynyt, mutta enpä ole kuullut, että siitä otettaisiin kosineita. Vielä vähemmän sitten, jos kulma on jossain korkeampiulottuvuuksisessa avaruudessa.
Kompleksiluvuillahan kosini on (ilmeisesti) määritelty näin:
cos: C -> C
cos z = (e^(iz) e^(-iz)) / 2
Miten tämän sitten voi tulkita geometrisesti? Alkaa mennä vaikeaksi.
Jos otetaan esim. vektorit
s = (1, 1, i)
t = (2i, -1, -2)
Niin / (||s|| ||t||)
= (i - 1) / (3 sqrt(3)) = w
Arccos w ≈ 1.76 - 0.945i. Millainen kulma tämä on geometrisesti?