Mikä on suurin suorakulmio, joka voidaan piirtää x-akselin ja funktion f(x)=-x^2 7 rajoittaman alueen sisään? Määritä suorakulmion kärkipisteiden koordinaatit ja suorakulmion pinta-ala.
Olen piirtänyt koordinaatistoon funktion perusteella alaspäin aukeavan paraabelin. Nollakohdat ovat x=2,6 ja x=-2,6 ja huippukohta (0,7).
Miten tästä pitäisi jatkaa?
Olen piirtänyt koordinaatistoon funktion perusteella alaspäin aukeavan paraabelin. Nollakohdat ovat x=2,6 ja x=-2,6 ja huippukohta (0,7).
Miten tästä pitäisi jatkaa?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Kompako? Ei tiedetä, mitä tason osajoukkoa käyrät rajoittaa? Maksimialaa ei ole, koska ala olisi suurimmillaan kun kärkipiste olisi käyrällä, mutta käyrän reunapiste ei ole sisäpiste.
Tässä voisi ottaa kahdeksan muuttujaa (jokaisen nurkkapisteen koordinaatit), mutta selvästikinhän ala on suurimmillaan, kun kärjet ovat rajoilla. Siinä on ehkä vähän pohtimista, että suorakulmion täytyy olla akselien suuntaisesti lappeellaan, mutta näin sen on oltava.
Merkitse suorakulmion yhtä paraabelillä olevan nurkkapisteen x-koordinaattia muuttujalla (x). Silloin y=7-x^2. Nyt suorakulmion yläsivu kannattaa tietenkin uloittaa jatkumaan paraabelin toiseen kohtaan asti. Ratkaise tästä yläsivun pituus. Pystysivun pituushan oli jo tiedossa (y-koordinaatti, eli 7-x^2). Nyt sinulla on kaava alalle ja voit lähteä maksimoimaan sitä.
Jos haluaisi vielä tarkemmin perustella miksi suorakulmion on oltava lappeellaan maksimialan saavuttamiseksi, voisi valita molemmat paraabelin x-leikkaukset ja vaikka suorakulmion kallistuskulman muuttujiksi ja tutkia tätä kolmen muuttujan funktiota. Toisaalta näyttäisi kyllä geometrisesti selvältä, että jos suorakulmio on vinossa, se voidaan aina pudottaa (jommalta kummalta puolelta luiskauttamalla) x-akselille ja sitten sinne jää tyhjää gäppiä...
Tuli tuosta kahdeksan muuttujan tapauksesta mieleeni kiintoisa kysymys: Mites jos laitetaan mielivaltainen n-kulmio sinne sisälle. Suorakulmiohan tuo tietysti lisärajoitteita osakseen noille muuttujille.
Käyrääkin voisi yleistää...
Tässä tulee varmasti tuon käyrän konveksisuus kyseeseen.
Tuossa luiskauttamisessa siis.
Kärjet eivät voi olla rajoilla. Topologiassa alueen reunapisteet eivät ole sisäpisteitä.
Mutta eikös tuollaisissa käyräjutuissa puhuta yleensä suljetuista joukoista? Ja voitaisiinhan se sopia, että suorakulmio on avoin, jolloin vain sisuksen tarvitsee olla sisällä. Eihän tuo piirtäminenkään aivan napanuuka topologinen termi ole...
Ja kun tuossa sanotaan "sisään", niin mielestäni se tarkoittaa että joukko sisältää toisen, ei vaadita, että joukon sisus sisältää toisen joukon.
Ala on 2*x*y, y=-x^2 7 , eli ala= -2x^3 14x
Tuon ääriarvo saadaan derivoimalla x:n suhteen ja asettamalla derivaatta nollaksi:
-6x^2 14=0=> x=sqrt(7/3) , sijoittamalla x alan lausekkeeseen saadaan alan arvo, sekä kärkipisteistä kaksi on -x, ja vastaavat y-koordinaatit saadaan sijoittamalla x:t paraabelin yhtälöön