Tuolla alla oli tehtävä, jossa lammas oli kiinnitetty ympyrän muotoisen kentän reunalle, ja kysyttiin, kuinka pitkä liean täytyy olla, jotta lammas ylettyisi syömään puolet kentän sisältämästä ruohosta. Mikä olikaan liean pituuden suhde kentän säteeseen? Voisiko joku äkkiä laskea kyseisen arvon mathematicalla.
lammastehtävä
muistelija
41035
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
"tehtävä, jossa lammas oli kiinnitetty ympyrän muotoisen kentän reunalle, ja kysyttiin, kuinka pitkä liean täytyy olla, jotta lammas ylettyisi syömään puolet kentän sisältämästä ruohosta."
Tehtävän olen kuullut monesti, mutta ratkaisuun ei ole tullut tutustuttua. Koetin nyt vähän hahmotella sitä, saattaa mennä aivan metsäänkin..:
Sijoitetaan lampaan ruohokenttä koordinaatistoon origokeskeiseksi ympyräksi, jonka säde käytännön syistä on 1 (eikä esim. r). Lampaan lieka on kiinnitetty x-akselille kohtaan x=1. Liean pituus on R.
Ruohokenttää kuvaa ympyrä x^2 y^2 = 1 ja liean ympyrää yhtälö (x-1)^2 y^2 = R^2.
Ratkaistaan näistä y:t ja merkitään niitä funktioiksi
f(x) = sqrt(1 - x^2)
g(x) = sqrt(R^2 - (x-1)^2)
Ympyröille löytyy leikkauspiste kohdassa x = 1 - (R^2)/2, y = ±f(x).
Lasketaan ylempään puolitasoon jäävä ympyröiden leikkauksen pinta-ala integroimalla kahdessa osassa (mathematica-tyylset merkinnät):
A = Integrate[ g(x), {x, 1-R, 1-(R^2)/2}] Integrate[ f(x), {x, 1-(R^2)/2, 1}]
Määrätyn integraalin ottaminen ei onnistu kovin helposti - vaikka g(x):lle ja f(x):lle löytyy kuin löytyykin integraalifunktiot - koska g(x):n integraalin kanssa tulee ongelmia kohdassa 1-R. Approksimoin tätä sitten valitsemalla sen sijaan kohdan 1.00000000001-R.
Näin on siis saatu noin neljän rivin mittainen funktio R:n suhteen, joka kertoo halutun pinta-alan puolikkaan. Merkataan tämä yhtä suureksi pi/4:n kanssa, jolloin enemmän tai vähemmän tappelemalla R:lle saadaan likiarvo 1,15873.
"Mikä olikaan liean pituuden suhde kentän säteeseen?"
Tämän pitäisi olla likimain juuri saatu luku 1,15873.
Kommentteja, kiitos. Sen nyt voin heti alkuun itsekin sanoa, että tällä kertaa välivaiheet ovat _todella_ vaillinaisesti esitetty ja perusteltu, mutta en viitsinyt uhrata niihin nyt kamalasti aikaa, jos vaikka koko roska on päin hevon hittoa.
Alla olevassa linkissä on pyöritetty samaa tehtävää. Tulos näyttäisi olevan samaa luokkaa kuin mihin Strawman on päätynyt.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000004340273
Mikäli edeltävät kommentit toistuvat, niin kohta joku valopää kirjoittaa, kuinka hän oli ainoa joka ratkaisi tämän matematiikan kokeissa ollen tehtävän jo 70-luvulla 5-desimaalin tarkkuudella, pelkkää kynää ja paperia apunaan käyttäen. ja osoittaa syvän halveksuntansa, nykyisiä apuvälineitä käyttäviä kohtaan. ! !
Kyllä asia taitaa olla niin että oppimisen kannalta ensimmäiset tehtävät kannattaa ratkaista kynän, harpin ja viivottimen kanssa. Mieluiten symbolisesti, koska symbolinen laskenta on myös hauskempaa. Sitten jos tarvitsee, mukaan yksinkertainen funktiolaskin. Näin päästään varmasti puhumaan asian hallinnasta ja syväoppimisesta.
Desimaalien määrä ei yleensä ole tavoiteltava asia, useinmiten riittää neljä merkitsevää numeroa, harvoissa poikkeustapauksissa kuusi. Enemmällä pullistelu (käsin tai koneella) osoittaa lähinnä heikkoa asiantuntemusta.
Seuraavassa vaiheessa voidaan rakennella sovelluksia, tutkia kuinka kone ratkaisee tämän nopeasti ja miten sovelletaan eri numeerisia tai graafisia tietokoneohjelmia.
Kyllähän tietokone ratkaisee hienosti numeerisen matriisin, jossa on yli miljoona tuntematonta, (kannettavalla 60min) mutta silloinkin käyttäjän on ehdottomasti ymmärrettävä, mitä nämä tuntemattomat ovat, kuinka niiden yhtälöt muodostuvat, mitä luokkaa ovat oletusarvot jne. Mikäli tämmöinen perustuntemus puuttuu, tulee tietokoneella helposti dekadien virheitä..
Tämä on minun mielipiteeni ja joku saa olla toista mieltä aivan vapaasti. Vähäiset taitoni opin kyllä ti89:n kanssa, mutta nyt työelämässä on täytynyt yleensä kuitenkin ottaa se ruutupaperi esiin, ennekuin alan koodaamaan asiakkaalle sovellusta.