Todennäköisyyslasku

Koska tämä on äärellinen tapahtuma, kaikki alkeistapaukset 6^5=7776, niin voit tehdä tietokoneohjelman esim. javascriptillä ja katsoa tuloksen nettiselaimessa.

Käytetään todennäköisyydet generoivaa funktiota (probablity generating function).
Olkoon X diskreetti satunaismuuttuja ja Pr(X = k) = p(k). Silloin todennäköiyydet generoiva funktio
G(z) = Sum { p(k)z^k: k saa määritellyt arvot}.

Suoritetaan toistokoe n kertaa, missä tuloksina saadaan saman satunnaismuuttujan X arvot x1, x2,...,xn, jotka oletetaan toisistaan riippumattomiksi. Silloin summan
x1 x2 ... xn todennäköisyydet generoiva funktio on G(z]^n (Wikipedia).

Yhden nopan tulokselle G(z) = (z z^2 z^3 z^4 z^5 z^6) / 6., jolloin 5 nopan heitolle yhteispistemäärän todennäköisyydet generoiva funktio on G(z)^5.

Wolfram Alphan mukaan
G(z)^5 =
(z^30 5 z^29 15 z^28 35 z^27 70 z^26 126 z^25 205 z^24 305 z^23
420 z^22 540 z^21 651 z^20 735 z^19 780 z^18 780 z^17 735 z^16
651 z^15 540 z^14 420 z^13 305 z^12 205 z^11
126 z^10 70 z^9 35 z^8 15 z^7 5 z^6 z^5) / 6^5.

Lasketaan yhteen potenssien z^30, z^29,...,z^20 kertoimet ja jaetaan 6^5:llä.

Toisenlainen ratkaisutapa:
Viiden nopan tulosten keskiarvo on 17,5, joten todennäköisyys saada 18 tai enemmän on 0,5. Vahennä puolikkaasta todennäköisyys saada 18 tai 19. Näitä kombinaatioita on nopeasti paperille listattava määrä.