Tunnista seuraavien lukujonojen raja-arvot derivaatoiksi ja päättele raja-arvo laskemalla derivaatta.
a=n*ln(1 1/n)
Mitä täs oikee haetaan?
a=n*ln(1 1/n)
Mitä täs oikee haetaan?
Mitä tehtävänanto tarkoittaa?
Ihmettelijäpp
6164
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
En ymmärrä missä tässä kummitelee derivaatta, mutta
n*ln(1 1/n) = ln((1 1/n)^n). Suluissa oleva lauseke lähenee lukua e, kun n kasvaa rajatta. ln(e) = 1.
lim a_n
n → ∞
= lim n*ln (1 1/n)
n → ∞
= lim ( ln (1 1/n) - ln 1 ) / ( 1/n )
n → ∞
Merkitään h = 1/n. Tällöin h → 0, kun n → ∞. Saadaan
lim ( ln (1 h) - ln 1 ) / h
h → 0
Tämä on funktion f(x) = ln x erotusosamäärän raja-arvo kohdassa x = 1.
Toisin sanoen
lim ( ln (1 h) - ln 1 ) / h = f'(1)
h → 0
Tunnetuksi oletettuja derivoimissääntöjä käyttäen f'(x) = 1/x ja siten f'(1) = 1.
lim a_n = 1
n → ∞
Toivottavasti tämä auttoi.
Kiitos paljon molemmille! Selkeni heti:)
Yksi juttu vielä. Miten ihmeessä voin käyttää tuota lauseketta hyödyksi määriteltäessä lim (1 1/n)^n kun n-> ääretön
Raja-arvot on ollu aikasemmin paljon helpompi määrittää...
lim (1 1/n)^n
n → ∞
= lim e^( ln (1 1/n)^n )
n → ∞
= lim e^( n*ln (1 1/n) )
n → ∞
= e^1
= e
Hyvä että selvisi. Tehtävänantoa voisi selkeyttää. Lukujonojen raja-arvo on luku jos se on määritelty. Siis pitää tulkita joku luku derivaataksi. Olisiko niin, että tehtävässä pitäisi laskea lukujonon raja-arvo tulkitsemalla lukujono erotusosamääräksi eikä derivaataksi, ja laskea sen raja-arvo? Miksi et kysy tehtävän laatijalta, mitä hänellä on mielessä?