...tällainen
Integraali[exp((1/4)*x^4)*x^2,dx]
Tiedän siis itse ratkaisun, joten kyse ei ole kotitehtävien tyrkkäämisestä muille :)...
Integraali[exp((1/4)*x^4)*x^2,dx]
Tiedän siis itse ratkaisun, joten kyse ei ole kotitehtävien tyrkkäämisestä muille :)...
Vastaukset 8
Vanhimmat
mitä tuo exp tarkoittaa; en ymmärrä laskun muotoa =)
exp(x) = e^2, missä siis e on Neperin luku
siis exp(x)= e^x...
"Integraali[exp((1/4)*x^4)*x^2,dx]"
Minusta tämä _näyttää_ pitkälti samanlaiselta kuin tuttu tapaus f(x) = exp(x^2), jonka integraalifunktio ei ole esitettävissä alkeisfunktioina. Joku oli tehnyt tästä gradunkin.
Exponenttifunktion edessä (tai siis jäljessä) oleva kerroin x^2 ei auta asiaa, koska se ei ole exponentin sisäfunktion derivaatta. Integrointi olisi triviaalia, jos kerroin olisi x^3. Jos tuota haluaa jotenkin sieventää, niin gammafunktion siitä saanee ulos.
"Tiedän siis itse ratkaisun"
Se olisi kiva kuulla. Tai ainakin vinkki. En nyt viitsinyt ruveta edes kokeilemaan mitään osittaisintegrointia tai sijoitusmenetelmää, kun minusta tuo integrandi näyttää aika vihamieliseltä.
... exp(x) voidaan esittää suppenevana sarjana:
exp(x)= Summa[(1/ i!)*x^i], missä i juoksee 0:sta äärettömään,
(perskuti kun on hankala kirjottaa tänne, kun ei pysty käyttämään noita matemaattisia symboleja)
joten mitä mahtaa olla sitten exp((1/4)*x^4)...
Ehkäpä olis pitäny mainita, ettei vastausta löydy alkeisfunktioiden avulla :/...
"(perskuti kun on hankala kirjottaa tänne, kun ei pysty käyttämään noita matemaattisia symboleja)"
Niinhän se on. Jotain lääkkeitä siihen voi koettaa keksiä:
- Merkistöstä (Charmap) voi tonkia sopivia merkkejä - kreikkalaiset aakkoset, likimain yhtäsuuruus, erisuuruus ym. löytyvät kyllä.
- LaTeXia tai LaTeXin tapaista merkintätapaa voi koettaa käyttää; monet LaTeXia ymmärtämättömätkin saavat siitä kyllä enemmän tai vähemmän hyvin selvää. Esim.
\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}
tai vähän vähemmän latexmaisesti:
\sum_{i=0}^{\infty} (x^i)/i!
- Kirjoittamalla "auki" (kuten äsken teitkin)
- Ja jos oikein vaikea lauseke löytyy, niin Mathematicalla tai Latexilla (vaikka Lyxiä apuna käyttäen) kuvaksi tai PDF:ksi ja webbiin. Jos ei jaksa kuvaa vääntää, niin tasalevyisell fontilla kirjoitettu ASCII-tekstikin auttaa usein.
"joten mitä mahtaa olla sitten exp((1/4)*x^4)..."
No joo, sarjanahan siitä saa toki jotain "järkevää" ulos.
Pikaisesti laskien sain, että
exp( x^4/4 )
= 1 x^4/4 x^8/32 x^12/384 O(x^16)
= \sum_{i=0}^{\infty} (x^(4i) / (4^i*i!))
ja x^2*exp( x^4/4 ) on näin ollen
f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (x^(4i 2) / (4^i*i!))
Tämän voinee integroida termeittäin, jolloin saadaan (ns. tarkka arvo):
F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (x^(3 4i) / ((3 4i)*4^i*i!)) C
Jos tuosta haluaa laskea integraalin arvoja numeerisesti, niin summaa kannattaa kyllä käyttää 0:sta tarpeeksi isoihin lukuihin, esim. 1000:een asti. Varsinkin, jos ollaan vähänkin kauempana origosta.
Vastaus on summamuodossa
Sum[(1/4)^k*1/k!*1/(3 4*k)*x^(3 4*k), {k, 0, Infinity}]
=1/3*x^3 1/28*x^7 1/352*x^11 ...
Tuo ei ole ilmaistavissa äärellisessä muodossa alkeisfunktioiden avulla.
Kysymyksen esittäjän motiivi jäi hieman epäselväksi, kun ratkaisua ei sitten ollutkaan alkeisfunktiomuodossa.
Jos tarkoituksena oli osoittaa, että integrointi voidaan suorittaa myös vaihtoehtoisella nenetelmällä, niin mielestäni tapa ei ollut oikein onnistunut.
Olen myös huomannut, että palstalla liikkuu runsaasti sen tason tyyppejä, joille ei tarvitse enää opettaa sarjakehitelmien teoriaa, ja kun nuo eksponenttifunktiot hoituu yleensä McLaurinin muunnelmalla, niin ongelmanahan on vain rutiinilaskenta (vrt. edellä ).
Jos ratkaisuksi kelpaa sarjakehitelmä, niin esitetyssä "ongelmassa"ei ole mitään ongelmaa, tai muutakaan poikkeavaa, eikä avaaja kysynyt mitään neuvoa, joten olisihan se kiva tietää, mikä tämän tehtävän pointti lopultakin oli.