Differentiaaliyhtälö

f(x) = 2 - x

Ratkaisemisessa. Tuollaisen sain aikaan:
(y - xy')² = -4y'

37683927489673489768 kirjoitti:

Ratkaisemisessa. Tuollaisen sain aikaan:
(y - xy')² = -4y'

Jos sijoitetaan y(1)=1, saadaan y'=-1, ja ratkaisuksi y=2-x

37683927489673489768 kirjoitti:

Ratkaisemisessa. Tuollaisen sain aikaan:
(y - xy')² = -4y'

Tuolla näyttäisi olevan suljettu muoto ratkaisulle. Joku osaavampi voi sanoa onko oikein http://math.stackexchange.com/questions/1088464/a-function-where-the-area-bounded-by-the-tangent-line-and-the-two-axes-is-consta

googlaaja1 kirjoitti:

Tuolla näyttäisi olevan suljettu muoto ratkaisulle. Joku osaavampi voi sanoa onko oikein http://math.stackexchange.com/questions/1088464/a-function-where-the-area-bounded-by-the-tangent-line-and-the-two-axes-is-consta

Ei taida olla. y(1)=1 ei toteudu millään c:llä. Eikä tuota pinta-alaparametria esiinny ratkaisussa. Wolfram antaa yleiseksi ratkaisuksi:

y = 4*(c-x)/c^2, ja y=2-x kun y(1)=1

13+4 kirjoitti:

Ei taida olla. y(1)=1 ei toteudu millään c:llä. Eikä tuota pinta-alaparametria esiinny ratkaisussa. Wolfram antaa yleiseksi ratkaisuksi:

y = 4*(c-x)/c^2, ja y=2-x kun y(1)=1

y=1/x myös toteuttaa tuon diffisyhtälön mutta jostain syystä Wolfram ei löydä sitä.

18+12 kirjoitti:

y=1/x myös toteuttaa tuon diffisyhtälön mutta jostain syystä Wolfram ei löydä sitä.

Ratkaisu on y=(2*c-x)/c^2 1/x, eli suoraparvi ja niiden verhokäyrä. Suorat sivuavat verhokäyrää pisteessä c. Muita ratkaisuja ei ole, muutoin myös niiden tangenttiparvet olisivat ratkaisuja.

1214 kirjoitti:

Ratkaisu on y=(2*c-x)/c^2 1/x, eli suoraparvi ja niiden verhokäyrä. Suorat sivuavat verhokäyrää pisteessä c. Muita ratkaisuja ei ole, muutoin myös niiden tangenttiparvet olisivat ratkaisuja.

Ainoastaan yksi suora täyttää ehdon y(1) = 1.

18+12 kirjoitti:

y=1/x myös toteuttaa tuon diffisyhtälön mutta jostain syystä Wolfram ei löydä sitä.

Tämä menee aika lailla yli hilseen. Esinnäkin tämä on jotain mystistä "Envelope of family of curves " jutskaa, ja Wolfram antaa sen mukaisen ratkaisun eli:

y=4(c-x)/c^2. Tämä on jonkun käyrän tangenttiparvi, ja se itse käyrä, mitä tässä varsinaisesti haetaan saadaan derivoimalla tuo yhtälö puolittain c:n suhteen:

0=((4c^2)-(8c^2) (8xc))/c^4 => tuosta ratkaistaan c=2x

Se sijoitetaan takaisin y=4(c-x)/c^2 yhtälöön, ja tulee y=1/x.

Tässä nyt kiinnostaisi, miten tuo differentiaaliyhtälön ratkaisu saadaan, kaiken muun lisäksi. Ei taida kuitenkaan vastaajaa löytyä(provo)

googlaaja1 kirjoitti:

Tuolla näyttäisi olevan suljettu muoto ratkaisulle. Joku osaavampi voi sanoa onko oikein http://math.stackexchange.com/questions/1088464/a-function-where-the-area-bounded-by-the-tangent-line-and-the-two-axes-is-consta

Tuosta yllättävästi tulee käyräksi y=1/x, kun olettaa, että A=2.
Siis käyttämällä c:n suhteen derivointia ja takaisin sijoitusta, eli siinä sen differentiaaliyhtälön ratkaisu on, vaikken tosin siitä mitään ymmärräkään.

uusi ja hankala asia kirjoitti:

Tuosta yllättävästi tulee käyräksi y=1/x, kun olettaa, että A=2.
Siis käyttämällä c:n suhteen derivointia ja takaisin sijoitusta, eli siinä sen differentiaaliyhtälön ratkaisu on, vaikken tosin siitä mitään ymmärräkään.

siis tästä tulee, hukkui asiayhteys
http://math.stackexchange.com/questions/1088464/a-function-where-the-area-bounded-by-the-tangent-line-and-the-two-axes-is-consta

uusi ja hankala asia kirjoitti:

siis tästä tulee, hukkui asiayhteys
http://math.stackexchange.com/questions/1088464/a-function-where-the-area-bounded-by-the-tangent-line-and-the-two-axes-is-consta

Katotaas vielä, se differentiaaliyhtälöhän oli: (y - xy')² = -4y'

Kokeillaan nyt heti yritettä y=Ax B => y`=A, ja sijoitetaan:

(Ax B-Ax)^2=-4A => A=(-B^2)/4 =>

y=B-(B^2*x/4)

Derivoidaan molemmat puolet B:n suhteen => 0=1-(B*x/2) =>B=2/x

Takaisin sijoittamalla: y=(2/x)-(4*x/(4x^2)) = 1/x

8+11 kirjoitti:

Ainoastaan yksi suora täyttää ehdon y(1) = 1.

Ja myös y=1/x täyttää sen.

uusi ja hankala asia kirjoitti:

Katotaas vielä, se differentiaaliyhtälöhän oli: (y - xy')² = -4y'

Kokeillaan nyt heti yritettä y=Ax B => y`=A, ja sijoitetaan:

(Ax B-Ax)^2=-4A => A=(-B^2)/4 =>

y=B-(B^2*x/4)

Derivoidaan molemmat puolet B:n suhteen => 0=1-(B*x/2) =>B=2/x

Takaisin sijoittamalla: y=(2/x)-(4*x/(4x^2)) = 1/x

Mutta myös tuo tangenttiparvi on ratkaisu, joskin triviaali sellainen.

Yliopiston matematiikan aineopintoja

Differentiaaliyhtälöitä käsitteleviä kursseja tosiaan tarjotaan ainoastaan harvoissa matematiikkaa ja/tai luonnontieteitä painottavissa lukioissa.