Jo vuosikausia olen silloin tällöin pohdiskellut tätä ikivanhaa matemaattista pähkinää. Jostain olen kuullut, että siihen on ihan pätevä ratkaisu. Matikan maallikkona (edes rantaa ei näy) haluaisinkin tietää että mikä, päästäkseni pohdiskelemaan muita "tärkeitä" kysymyksiä.
Kysymys on oven sulkemisen matemaattisesta mahdottomuudesta. Ovihan ei koskaan voi sulkeutua, koska sen on aina taivallettava uudestaan esim. puolet jäljelläolevasta matkasta.
Ongelma taisi esiintyä muinoin myös jäniksen mahdottomuutena saavuttaa kilpikonna kilpajuoksussa, jos kilppari saa pätkääkään etumatkaa.
Jos kahden esineen kohtaaminen on jotenkin mahdollista, mikä on kahden muodoltaan täydellisen biljardipallon kosketuspinta-ala?
Kiitoksia, arvoisat naiset ja herrat!
Kysymys on oven sulkemisen matemaattisesta mahdottomuudesta. Ovihan ei koskaan voi sulkeutua, koska sen on aina taivallettava uudestaan esim. puolet jäljelläolevasta matkasta.
Ongelma taisi esiintyä muinoin myös jäniksen mahdottomuutena saavuttaa kilpikonna kilpajuoksussa, jos kilppari saa pätkääkään etumatkaa.
Jos kahden esineen kohtaaminen on jotenkin mahdollista, mikä on kahden muodoltaan täydellisen biljardipallon kosketuspinta-ala?
Kiitoksia, arvoisat naiset ja herrat!
Vastaukset 12
Vanhimmat
Riippuu törmäysenergiasta ja materiaalin
kimmoisuudesta. Liike-energia kuluu pallon
litistämiseen ja kolinaan,joka on tarpeellinen
yleisön mielenkiinnon ylläpitämiseen.
Jäniksen ja kilpikonnan tapaus:
Vaikka etäisyyden voikin aina puolittaa äärettömän monta kertaa, säilyy aika silti äärellisenä. Etäisyyden puolittaminen ei siis millään tavalla lisää aikaa.
Oven tapauksessa on sama juttu. Vaikka matkan voikin puolittaa äärettömän monta kertaa, ei se tippaakaan lisää äärellistä matkaa.
Modernin fysiikan mielestä kosketuspinta-ala riippuisi voimasta jolla kappaleet törmäisivät. Kevyt kosketus olisi vain elektronien kohtaamista. Kovempi voisi jopa särkeä ytimen.
Klassisessa mekaniikassa pinta-ala olisi tietenkin vain pistemäinen dA.
Etäisyyshän voi pienentyä koko ajan aina atomitasolleen asti, mutta etäisyys ei voi tulla miinusmerkiseksi / olla nolla. Atomitasollakaan ne eivät törmää koskaan toisiinsa.
"Nyt mä näkisin että sä oot asian ytimessä", sanoi aikoinaan Pulkkinen.
Aivan. Mutta puolittaa sen silti voi matemaattisesti vaikka oltaisiin jo kvanttimaailmassa.
Eri asia on onko enää niillä mitoilla yhtään mitään merkitystä. Onhan "pienin mahdollinen" aikakin olemassa! Silti tämänkin ajan voi aivan hyvin jakaa kahdella... tai vaikka kolmella..
no matemaattisesti ajattelu on eri asia kun fysikaalisesti.
tota kilpikonnatehtävää en oikeen ikinä hahmottanut. jos vaik jänis juoksee 10x nopeempaa ku kilpikonna ja kilpikonna lähtee 100m päästä ni jos kuvitellaan että kun kilpikonna on mennyt 10m eteenpäin on jänis 100m, kun kilpikonna menee vielä metrin eteenpäin on jänis mennyt 10m, sittenkun kilpikonna menee 0.1m on jänis siinä missä kilpikonna äsken, eli kilpikonna taas edellä.
en tajua tuossa sitä paradoksia, sillä jos etäisyyttä käsitellään näin, matkaan kulunut aikahan pienenee dramaattisesti. vaikka tarkkoja nopeuksia ei annettukkaan niin matkaan kulunut aikahan lähenee äkkiä nollaa, vaikkei sitä saavutakkaan. kumminkin kun nopeudesta puhutaan on aika pakko ottaa mukaan (v=s/t) ja kun aikaa kuluu tietyn verran on jänis ohittanut kilpikonnan?
toi ovi juttu on sit eri asia, että miten määritellään et ovi on kii? ainaki mä määrittelen sillonku se naksahtaa kii, :P ja vaikka sitä voiki siitä työntää aina sen puolittaisen matkan eteepäi ni silti se on kiinni.
korjatkaa jos ja kun olen väärässä
chff tuossa mainitsi paradoksi-sanan ni tuli mieleen tämmönen ongelma:
Ennustuskone sytyttää vihreän valon, jos sille esitetyn kysymyksen vastaus on "kyllä" ja punaisen valon syttyessä vastaus on "ei". Koittakaapa keksiä kysymys, johon kone ei voi vastata oikein.
Oletko lopettanut vaimosi hakkaamisen?
(koneella tuskin on edes vaimoa)
Kuinka paljon on kaksi plus kaksi?
(kyllä vai ei?)
Tarkoitit kuitenkin ehkä enemmän jotain tälläistä:
Syttyykö seuraavaksi punainen valo?
(kyllä -> syttyi vihreä eli valehteli, ei-> syttyi punainen eli valehteli)
Jooh, oisin voinu hieman tarkempi olla tosiaan. Tota viimeistä tosiaan hain.
Kiitoksia vastaajille, ymmärrän aikatekijän ja perusmatkan muuttumattomuuden. Mutta silti vielä kaivelee yksi kysymys: missä vaiheessa kahden kohteen kohtaamisen mahdollistava "puolimatkan krouvi" katoaa? Milloin, miten ja miksi etäisyys häviää, noin niinkuin matemaattisesti.
Tätä jänis-kilpikonna -juttua ei parane ajatella matemaattisesti, ennemmin siinä on kyse filosofisesta dilemmasta jos siis halutaan aina olettaa, että jänis juoksee puoleen väliin etäisyyttä. Ja mitä biljardipalloihin tulee, niin matemaatikko vastaisi kosketuspinnan olevan dA, fyysikko taas voisi ajatella eri näkökulmia, mitä törmäykseen liittyy.
Kysymykseen 'milloin ovi kolahtaa kiinni' voidaan kysyjän ajattelumallista johtaa selkeä vastaus. Jos oven kiinnimenonopeus on vakio, niin aina, kun ovi on edennyt matkallaan edellisestä tarkastelupisteestä puoleen väliin jäljellä olevaa kiinnimenomatkaa, niin aikaa on kulunut puolet siitä, mitä kului edellisten kahden tarkastelupisteen välillä. Näistä ajoista muodostuu suppeneva sarja, mikä tarkoittaa, että sille voidaan laskea summa, mikä puolestaan on se ajan hetki, jolloin ovi kolahtaa äänekkäästi, ellei kysyjän sormi sattunut jäämään saranapuolelle väliin. Silloinkin saattaa ääntä kyllä lähteä. Toisaalta silloin oven nopeus ei pysynytkään vakiona loppuun asti. Tai jos pysyi, niin ääntä lähtee sekä kolahduksesta, että jostain muualta vähän enemmänkin.
Mikäli oven kiinnimenonopeus on muuttuva ja myös sitä pudotetaan aina puoleen kiinnimenomatkan puolittuessa, ei muodostuva aikaakselille kuvautuva lukujono ole suppeneva, jolloin summaa ei voida laskea ja tällöin ovi ei kolahda koskaan. Joka tekee sellaisen vehkeen, millä oven sulkeutumista voidaan näin tarkasti ohjata pääsee välittömästi meille töihin.