Hei kaikki!
Tehtävänanto olisi seuraavanlainen: Ilmoita ympyrän kulmien 120° ja 200° _tarkat_ sin-, cos-, ja tan-arvot etumerkkeineen.
Miten tässä tulisi edetä? Lakimestahan esim 120°:een sin-arvo saataisiin ihan vaan näppäilemällä sin 120, mutta koska vastauksessa on pirusti (loputtomasti??) desimaaleja, ei vastausta voi paperille kirjoittaa. eikä vastaukseksi kelpaa sin 120.
Saako vastaukset muutettua murtoluvuiksi vai mitähän tässä tehtävässä haetaan?
Tehtävänanto olisi seuraavanlainen: Ilmoita ympyrän kulmien 120° ja 200° _tarkat_ sin-, cos-, ja tan-arvot etumerkkeineen.
Miten tässä tulisi edetä? Lakimestahan esim 120°:een sin-arvo saataisiin ihan vaan näppäilemällä sin 120, mutta koska vastauksessa on pirusti (loputtomasti??) desimaaleja, ei vastausta voi paperille kirjoittaa. eikä vastaukseksi kelpaa sin 120.
Saako vastaukset muutettua murtoluvuiksi vai mitähän tässä tehtävässä haetaan?
Vastaukset 18
Vanhimmat
Ympyrä on radiaaneina 2 * pii.
Tarkka 30 asteen kulma on pii / 6 jne. Siitä vaan päättelemään mitä on esimerkiksi 120 astetta.
Ah no niin tietysti! Eipä käyny radiaanit mielessäkään. Iso kiitos!
Kysytäänkö muka siinä todellakin tarkkoja sinin ja cosinin arvoja kulmalle 200 astetta ? Vähän epäilen, että 210 ?
Periaatteessahan noita lasketaan kaavoilla sin(x y)=sinxcosy cosxsiny, ja cos(x y)= cosxcosy-sinxsiny, esim: sin(120)=sin(90 30)=1*½sqrt3 0*½=½sqrt3 .
kulma 200 ei kuitenkaan oikein taivu niihin kaavoihin.
Ainoa mihin se nyt menisi olisi sin3x=3sinx-4sin^3x, mutta siitäkin tulee kolmannen asteen yhtälö....
Tietääkseni ympyrässä ei ole kulmia.
Jos ympyrää muistuttavassa kuviossa on kulmia, ei kyseessä ole ympyrä vaan säännöllinen monikulmio.
huonosti kopsittu tehtävä. Eiköhän tuossa harjoituksen aiheena ole nuo funktioiden merkit yks.ympyrän 2. ja 3. neljänneksessä. Mahd. lisäksi tarkoitettu, että esimerkkikulmat muodostavat ns.muistikolmion, jolloin arvot mahdollista antaa "tarkkana".
Ja mitä merkitystä eka vastauksen radiaaneilla on, eihän se muuta tehtävää mitenkään, siltä osin kuin mitä siinä kaikesta päätellen halutaan
Joo, elikkä oikeessa olitte, kysymys tuli kirjoitettua väärin. Ja enkä ole edennyt tehtävässä.
Elikkä tehtävässä on ympyrä, jossa on kulma 120°, 210, sekä 300.
vastauksena pitää antaa kulmien tarkat sin-, cos- ja tan-arvot etumerkkeineen.
Tässä haetaan nyt jotain mitä en tajua..
Ja ympyrän sädekin unohtui ilmoittaa (se on 7)!
Arvot löytyvät täältä:
http://www.taulukot.com/index.php?search_id=numeerisiataulukoita&lng=fi
kohdasta "Trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja".
Jos on tarpeen vielä jotenkin osoittaa, miten arvot on saatu, niin viittaan, kuten tuolla edellä on jo tehty, funktioiden summakaavoihin. Esimerkiksi 210° = 180° 30°. Kulmaa 30° astetta vastaavat funktion arvot taas saat suorakulmaisesta kolmiosta, jonka yksi kulma on 30°:
https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/trigfkt2.html
Homma ei etene, ennen kuin ymmärtää oppikirjasta sin, cos, tan laajennetut määritelmät. Aluksihan ne määritellään geometriassa kolmion avulla, jolloin koskee alle 90 asteen kulmia.
Yksikköympyrän avulla laajennetaan nämä määritelmät mille tahansa kulmille.
Esim.hallittava määrittelyt sin>0 kulmille (0,180), (tarkoitaa avoin väli)
sin0 (-90,90), cos
vastaukset (v3 tarkoittaa sqrt(3))
....sin....... cos .... tan
120: v3/2 -1/2 -v3
210: -1/2 -v3/2 1/v3
300 -v3/2 1/2 -v3
muista! vastauksilla ei arvoa, jos ei tiedä miten niihin pääsee :)
Otetaanpa yksi esimerkki sinistä:
sin(α β) = sin α cos β cos α sin β
Kun α = 180° ja β = 30°, niin silloin sin(180° 30°) = sin180°·cos30° cos180°·sin30° = 0·½√(3) (-1)·½ = -½.
Tässä lisää kulmien summan trigonometrisia funktioita:
http://www.intmath.com/analytic-trigonometry/2-sum-difference-angles.php
Jos tämä olisi esim. lyhkäsen matikan yo-tehtävä, niin oikeaan suoritukseen ei ehkä olisi tarvis noin "turhan" formaali käsittely, vaan riittäisi päättely suoraan yksikköympyrän kuvasta määritelmän perusteella
(= katsominen vaan, mihin kohtaan muistikolmio kulloinkin noilla asteluvuilla muodostuu)
Päättelyssä tulee helpommin virheitä, kaavaan sijoittamisessa ei niin helposti.
Kyseessä on kovin simppeli asia lopultakin (perusmääritelmästä kysymys), joten tarpeetonta rakentaa kulisseja näön vuoksi ympärille :)
Jonkin verran harjaantunut näkee tässä tapauksessa kuvasta suoraan vastaukset oikeastaan laskematta mitään.
ps.opettajan silmin katsovat voisivat kommentoida; turha kuorrutus voi olla pieni miinuskin periaatteessa, vaikka siitä kokeissa ei rokotettaisikaan mitään ?
Kyse on enemmästäkin, ratkaistaanko ongelmat tapauskohtaisesti vai aina systemaattisella, tiettyyn ongelmatyyppiin sopivalla ratkaisumenetelmällä.
Kulmien summan tai moninkertaisen kulman ja kulman murto-osan trigonometriset funktiot ovat usein päteviä tällaisiin ongelmiin. Lisäksi oikeaan vastaukseen tarvitsee vain osata matemaattista pyöritystä eikä juuri ollenkaan luovaa, virheherkkää ajattelua.
Enkä ole opettaja, vaan työssäni matematiikkaa vuosia soveltanut. Siksi olen pyrkinyt etsimään menetelmät, joilla oikean tuloksen saa kaikkein tehokkaimmin. Systemaattisen ratkaisumenetelmän opettelu ensimmäisellä kerralla vie tietysti enemmän aikaa, mutta seuraavat kerrat ovatkin sitten nopeita ja helppoja.
Eihän näitä lukioaikana pysty mitenkään sisäistään eikä kaikkia näihin liittyviä trigonometrisisä kaavoja soveltamaan. Muistan, että lukioaikana näitä summakaavoja ei käytetty oikeastaan mihinkään, kunhan esiteltiin, että taulukkokirjassa on tämmöisiäkin.
Kyllä se on erittäin paljon lukijan ja opiskelijan vastuulla, miten tuollaiset sinit ja cosinit isoista kulmista järkeilee, pääasia on lopputulos, ei se tapa miten niihin on päästy.
Tämä saattaa kuitenkin liittyä johonkin käsiteltyyn asiaan, jolloin on tietysti selvää mitä haetaan, mutta jos tämä nyt vaan tehtävänä eteen lyödään kertomatta asiayhteyttä, niin summakaavoilla sitten.
Niin, tarkoitin yllä heitä, joilla on tuntumaa opettajan rooliin
Katsoin nyt, mistä on kysymys ja siitä pari linkkiä
http://opetus.tv/maa/maa9/sini-ja-kosini-yksikkoympyrassa/
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Unit_circle_angles.svg
Eli kysymys puhtaasti vain yksikköympyräkäsitteen omaksumisesta, ei mistään muusta
(aloittajan tilanne on sen verran alkutekijöissään, kun ilmoittaa ylempänä yksikköympyrän säteeksi 7, niin se on ykkösen väkä, mikä tekee "seiskaksi" :)
Homman tuossa vaiheessa tuskin summakaavat ovat vielä oleellinen asia eikä vielä opetettukaan.
Muuten, siis jos mennään koulumaailman ulkopuolelle, esittämissäsi näkemyksissä on pointtia tietty. Ajatellaan esim. vaikka lääkelaskun käytännössä koeteltua sapluunaa; silloin kun tehtävä mukautuu suunniteltuun raamiin, niin lähtöarvot omiin lokeroihinsa ja - homma toimii.
(Luulen, että siellä on suuri väritetty seinätaulu jatkuvasti muistuttamassa, että "älä rinnasta millilitraa ja milligrammaa toisiinsa, siitä kyllä jälkipuheita tulee.. :D