Pitäisi laittaa transfiniitit järjestykseen. Ovatko seuraavat merkittävät transfiniitit ordinaalit tässä oikein ymmärrettyjä ja oikeassa nousevassa järjestyksessä? Tiettyä hämmennystä aiheuttaa mm. ordinaali- ja kardinaalipuolten välinen tematiikka ja samankaltaisten esitysmuotojen käyttö ordinaali- ja kardinaalipuolilla erilaisissa merkityksissä. Pieni omega (omega) ja iso omega (Omega) ovat selvästi eri asioita, mutta mikä niiden välinen suhde tarkalleen ottaen on? Feferman-Schutten "yläpuolella" eri tutkijoiden käyttämät notaatiot alkavat myös olla kirjavia ja niillä esitetyt ordinaalit hankalasti toisiinsa suhteutettavia.
1) omega = omega[0] = ensimmäinen transfiniittinen järjestysluku (kardinaalipuolella tätä "vastaa" aleph[0], liittyen mm. luonnollisten lukujen joukon kardinaliteettiin)
2) Omega = omega[1] = ensimmäinen ei-laskettavissa oleva järjestysluku = {2,omega}? (kardinaalipuolella tätä vastaa aleph[1], joka liittyy mm. reaalilukujen joukon kardinaliteettiin ja ZFC-teorian jatkumohypoteesiin, aleph[1] = {2,aleph[0]}?)
3) omega[omega] = {2,{2,{2 … {2,omega}}}}? = {2,omega,2}
4) Veblen(omega,0) = {omega,2,2} = {omega,omega}
5) Veblen(omega 1,0) = {omega,3,2} = {omega,{omega,omega}}
6) Epsilon(0) = Veblen(0,1) = {omega,omega,2} = {omega,Epsilon(0)}
7) Epsilon(1) = Veblen(1,1) = {{omega,omega,2},Epsilon(0) 1} = {Epsilon(0),Epsilon(1)}
8) Zeta[0] = Veblen(0,2) = {omega,omega,3} = Epsilon(Epsilon(Epsilon( … (Epsilon(0))))) = Epsilon-funktioiden raja-arvo
9) Feferman-Schutte = Gamma[0] = Veblen(0,0,1) = Theta(Omega)
10) Ackermann ordinaali = Veblen(1,0,0,0) =Theta({Omega,2})
11) Small Veblen = Veblen-funktioiden raja-arvo äärellisellä määrällä argumentteja = Theta({Omega,omega}) = {omega,omega (1) 2}
12) Large Veblen = Veblen-funktioiden raja-arvo äärettömällä määrällä argumentteja = {omega,omega,2 (1) 2}
13) Bachmann-Howard = Theta(Epsilon(Omega[0] 1)) = Theta(Epsilon(Omega Theta(Epsilon(Omega Theta(Epsilon(Omega … ))))))
14) Takeuti-Feferman-Buchholz = Veblen(0,Veblen({omega,omega} 1))
15) Church-Kleene ordinaali = sup(Omega) = ensimmäinen ei-rekursiivinen järjestysluku
16) Lambda[n] = pienin yläraja (supremum) kaikille sellaisen Turing-koneen tuotettavissa oleville ordinaaleille, jolla koneella on käytettävissään äärettömästi aikaa (ITTM = Infinite Time Turing Machine), triviaali syöte, enintään n tilaa ja kyky pysähtyä välittömästi tuotettuaan tietyn ordinaalin
17) Sigma = Sigma[n] = pienin yläraja kaikille sellaisille edellä kuvatun kaltaisen ITTM:n tuotettavissa oleville ordinaaleille, jotka se kykenee tuottamaan ennustamattomasti jokaisella toiminta-askeleellaan.
1) omega = omega[0] = ensimmäinen transfiniittinen järjestysluku (kardinaalipuolella tätä "vastaa" aleph[0], liittyen mm. luonnollisten lukujen joukon kardinaliteettiin)
2) Omega = omega[1] = ensimmäinen ei-laskettavissa oleva järjestysluku = {2,omega}? (kardinaalipuolella tätä vastaa aleph[1], joka liittyy mm. reaalilukujen joukon kardinaliteettiin ja ZFC-teorian jatkumohypoteesiin, aleph[1] = {2,aleph[0]}?)
3) omega[omega] = {2,{2,{2 … {2,omega}}}}? = {2,omega,2}
4) Veblen(omega,0) = {omega,2,2} = {omega,omega}
5) Veblen(omega 1,0) = {omega,3,2} = {omega,{omega,omega}}
6) Epsilon(0) = Veblen(0,1) = {omega,omega,2} = {omega,Epsilon(0)}
7) Epsilon(1) = Veblen(1,1) = {{omega,omega,2},Epsilon(0) 1} = {Epsilon(0),Epsilon(1)}
8) Zeta[0] = Veblen(0,2) = {omega,omega,3} = Epsilon(Epsilon(Epsilon( … (Epsilon(0))))) = Epsilon-funktioiden raja-arvo
9) Feferman-Schutte = Gamma[0] = Veblen(0,0,1) = Theta(Omega)
10) Ackermann ordinaali = Veblen(1,0,0,0) =Theta({Omega,2})
11) Small Veblen = Veblen-funktioiden raja-arvo äärellisellä määrällä argumentteja = Theta({Omega,omega}) = {omega,omega (1) 2}
12) Large Veblen = Veblen-funktioiden raja-arvo äärettömällä määrällä argumentteja = {omega,omega,2 (1) 2}
13) Bachmann-Howard = Theta(Epsilon(Omega[0] 1)) = Theta(Epsilon(Omega Theta(Epsilon(Omega Theta(Epsilon(Omega … ))))))
14) Takeuti-Feferman-Buchholz = Veblen(0,Veblen({omega,omega} 1))
15) Church-Kleene ordinaali = sup(Omega) = ensimmäinen ei-rekursiivinen järjestysluku
16) Lambda[n] = pienin yläraja (supremum) kaikille sellaisen Turing-koneen tuotettavissa oleville ordinaaleille, jolla koneella on käytettävissään äärettömästi aikaa (ITTM = Infinite Time Turing Machine), triviaali syöte, enintään n tilaa ja kyky pysähtyä välittömästi tuotettuaan tietyn ordinaalin
17) Sigma = Sigma[n] = pienin yläraja kaikille sellaisille edellä kuvatun kaltaisen ITTM:n tuotettavissa oleville ordinaaleille, jotka se kykenee tuottamaan ennustamattomasti jokaisella toiminta-askeleellaan.
Vastaukset 6
Vanhimmat
mitä hemmetin siansaksaa tuossa on?
Lähinnä tyypillisiä Veblen (Phi) -funktioita, Epsilon-numeroita, Theta-funktioita (voitaisiin käyttää tältä osin vaihtoehtoisesti myös Psi-funktioita, tyyliin ordinal collapsing functions) ja BEAF:ia (kyse ei siis tässä ole joukkoesitysmuodoista, vaikka äärettömät joukot liittyvät esim. transfiniitteihin mahtavuuksiin). Indeksit ja argumentit on annettu tässä sulkeiden sisällä. Enumerointi voitaisiin vaihtoehtoisesti esittää alaindekseillä. Epsilon-numeroiden osalta voitaisiin käyttää vaihtoehtoisesti hakasulkeita. Kreikkalaiset symbolit on kirjoitettu auki. Tällä ja käytetyn notaation yhteen tasoon pidättäytyvillä valinnoilla on pyritty lähinnä välttämään tämän foorumin mahdollisista esitysteknisistä rajoitteista aiheutuvia epäselvyyksiä (aiemmin joitakin erikoismerkkejä on mm. hävinnyt foorumin teknisten uudistusten sivuvaikutuksina). Konversio "standardiesitysmuotoihin" lienee tässä triviaali.
Ordinaaliaritmetiikan mukaan {2,omega} = omega. Päteekö siis: 1) omega = Omega, 2) omega[n] = omega, 3) {n,omega} = omega? Jos omega = Omega, niin miksi silti käytetään kahta erillistä symbolia: omega ja Omega, esimerkiksi jälkimmäisessä linkitetyssä dokumentissa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
http://www.mrob.com/users/chrisb/Fast-Growing_Hierarchy.pdf
Eikös tuo kohta 16 tarkoita että apinalle annetaan kirjoituskone ja äärettömästi aikaa ?
Uutta tiedettä syntyy alalle kuin alalle.
Voisin luulla, että osoitteesta http://math.stackexchange.com/ saisit paremman vastauksen. Itse en uskalla postittaa kysymystä sinne, kun en ymmärrä onko kysymys järkevä vai ei. Miksi nuo pitäisi edes järjestää? Onko tämä joku yliopiston kurssin läksy?
Ordinaaleilla on järjestysominaisuus. Järjestykseen laittaminen olisi siis yksi luonteva tapa jäsentää tuota aihealuetta. Olettaisin, että esitetty järjestys on oikea, mutta en ole varma, johtuen mm. niistä seikoista, jotka aloituksessa toin esille. Tämä ei ole yliopistollinen kurssitehtävä, vaan ihan vain tällainen yleinen aihealueen hahmotusyritys.