paraabelin ja suoran etäisyys

Tämän voi ajatella usealla tavalla

a) Valitaan parabelilta piste (x0, 3x0^2). Tämä keskipisteenä muodostetaan ympyrä, jonka säde on 2. Määrätään tämän ympyrän ja y-akselin leikkauspisteet (mikäli ne leikkaavat). Leikkauspisteet riippuvat x0sta.

b) Otetaan parabelilta piste (2, 3 * 4) tai (-2, 3 * 4), Sen kohtisuora etäisyys y-akselista on 2.

c) Olkoon y-akselilta piste (0, y0). Määrätään y0 siten, että tämän pisteen kohtisuora etäisyys parabelista on 2. Toisin sanoen määrätään x0 siten, että pisteen (x0, 3x0^2) kautta kulkeva parabelin normaali kulkee pisteen (0, y0) kautta. Sitten määrätään y0 siten, että normaalin pituus on 2.

Kai tässä nyt sellaista etäisyyttä haetaan, joka on lyhin jostain y-akselilta paraabelille, silloin vektori y-akselilta on kohtisuorassa paraabelin tangentin suuntavektoria vastaan.
Jos vaikka paraabelilla on piste (a, 3a^2), nii tähän pisteeseen piirretyn tangentin suuntavektori on u=i 6aj.
Vektori tuosta pisteestä y-akselille pisteeseen b on v= -ai (b-3a^2)j.
Nyt kun otetaan pistetulo u•v=0, niin silloin vektorit ovat kohtisuorassa.
u•v=-a 6a(b-3a^2)=0 =>b=(1 18a^2)/6

Sitten Pythagoraalla: a^2 (b-3a^2)^2=4, tuohon sijoitetaan b, ja ratkaistaan a =>
a=(sqrt143)/6, joten b=145/12.

Paraabelin piste:(( -sqrt143)/6, 143/12) ja y-akselin piste 145/12

Piirrä ensiksi kuva tilanteesta. Huomaat varmasti, että paraabeli on ylöspäin aukeava ja symmetrinen y-akselin suhteen. Piirrä vaakasuora, joka leikkaa y-akselin jostakin paraabelin pisteestä. Piirrä toinen suora samasta paraabelin pisteestä y-akselilla olevaan pisteeseen, joka on edellisen y-akselia leikkaavan suoran leikkauspisteen yläpuolella. Huomaat varmaankin, että nyt syntyi suorakulmainen kolmio vaakasuoran yläpuolelle. Nyt, mikäli ymmärsin tehtävän oikein on tämän kolmion hypotenuusan pituus ilmoittamasi 2. Viereisen kateetin pituus on x, ja kolmion vastaisen kateetin pituus on neliöjuuri (2^2-x^2). Vaakasuoran korkeus y-akselilla on 3*x^2. Nyt voit rakentaa lopullisen yhtälön kuvion perusteella, josta toisiaan vastaavat x- ja y-arvot voidaan laskea pisteiden välin ollessa vakio eli 2. Yhtälö on siis: y(x)=3*x^2 neliöjuuri(2^2-x^2); Tehtävä ei ollut vaikea. En myöskään tiedä millaiset valmiudet sinulla on tällainen ratkaista. Matikka on ajattelemista, ei ulkoa oppimista. Heti ei kannata kysyä, vaikka asia ei selviä. Kannattaa rauhassa miettiä mitä kysytään ja aina piirtää kuva ongelmasta.

Kiitos vastauksistanne. Tehtävä on hieman monimutkaisempi, sillä tämä oli vain osa suurempaa kokonaisuutta. Tehtävänä on piirtää paraabelin sisälle mahdollisimman suuri ympyrä, jonka säde on 2. Ajattelin sitten, että koska paraabeli on y-akselin suhteen symmetrinen, voin ratkaista pallon keskipisteen y-akselilla alkuperäisellä kysymykselläni. Muuten se toimisi, mutta nämä kaksi pistettä eivät ole välttämättä samalla y-koordinaatilla eli vaakasuorassa toisiinsa.