Tietäisikö joku miten seuraava integraali saadaan ratkaistua?
2x 5 / x^2 4x 8
Saan sen muotoon 2x 4 / x^2 4x 8 plus 1 / x^2 4x 8
Edellisen integraali on helppo määrittään koska rationaalifunktio on muodossa f'(x)/f(x) eli se on ln|x^2 4x 8| mutta jälkimmäisen kanssa on minulla ongelmia
se pitäisi saada muotoon esim. muotoon 1/1 x^2 jolloin integraali olisi arctan, tai sitten esim. 2 / 1 (2x)^2 jolloin integraali olisi arctan(2x)
saan esiin ainoastaan muodon 1/4 (x 2)^2 mutta luvun 4 takia ei voi kirjoittaa integraalin olevan arctan(x 2).
Tietäisikö joku mikä temppu tälle täytyy tehdä? Kiitos jo etukäteen jos saan apua.
2x 5 / x^2 4x 8
Saan sen muotoon 2x 4 / x^2 4x 8 plus 1 / x^2 4x 8
Edellisen integraali on helppo määrittään koska rationaalifunktio on muodossa f'(x)/f(x) eli se on ln|x^2 4x 8| mutta jälkimmäisen kanssa on minulla ongelmia
se pitäisi saada muotoon esim. muotoon 1/1 x^2 jolloin integraali olisi arctan, tai sitten esim. 2 / 1 (2x)^2 jolloin integraali olisi arctan(2x)
saan esiin ainoastaan muodon 1/4 (x 2)^2 mutta luvun 4 takia ei voi kirjoittaa integraalin olevan arctan(x 2).
Tietäisikö joku mikä temppu tälle täytyy tehdä? Kiitos jo etukäteen jos saan apua.
Vastaukset 8
Vanhimmat
kaava: 1 / sqrt(q-p^/4) * arctan .....
ei toimi se antaa arctanin kertoimeksi 1/2 mutta arctanin argumentti on oikein. Kun kertoimeksi laittaa 1/4 se toimii (ehkä)
tulos olisi ehkä ln|x^2 4x 8| 1/4arctan((x 2)/2)
derivoitsin ja sain mielestäni sen mistä lähdin liikkeelle. Ohjelmani laskee määrätyn integraalin arvon. Sillä tuo ei kylläkään toiminut. Ensimmäinen termi on mielestäni oikein. Se on lisäksi helppo derivoida. Minusta jälkimmäisen derivaatta on 1/4 * 1/(1/4x^2 x 2)
Miksiköhän tuo kaava ei toiminut. Tai sitten en osannut käyttää sitä?
siis vielä täytyy lisätä integraalivakio C.
Siihen jälkimmäiseen vaikka c * arctan((x/2 1) , ja selvyyden vuoksi vois käyttää sulkuja, niin helpottas hahmottamista.
Tarkotin, että hae ensin se arctan-funktio ja koita sitten löytyykö sopiva ln-funktio.
Suosittelen, että käytät sulkuja ymmärtämisen helpottamiseksi, mutta asiaan...
Oletko kuullut koskaan sijoitusmenetelmästä integraaleja ratkottaessa? Olet aivan oikeilla jäljillä yrittäessäsi muodostaa integraalin sisään arkustangentin derivaattaa. Kokeilepa sijoittaa muotoon 1/(4 (x 2)^2) seuraavasti: x 2 = 2u, jolloin myös sinun on muistettava muuttaa dx seuraavasti: dx = 2du. Tällöin lauseke tulee muotoon §(2/(4 (2u)^2))du, missä § on integraalimerkki. Se taas menee muotoon §(2/(4 4*u^2))du = §(2/(4*(1 u^2))du = (1/2)*§(1/(1 u^2))du = (1/2)*arctan (u). Vastauksen saat sijoittamalla takaisin u = (x 2)/2.
Tiedän sijoitusmenetelmän.
Ajattelit seuraavasti: x 2 = 2u => x = 2u - 2 ja x:n derivaatta on 2. Tässä sijoituksessa minulle ennestään tuntematonta mutta nerokasta oli käyttää kerrointa 2.
Syntyy siis muoto (1 / 4 (2u)^2) * 2
Kun sitä käsittelee tulee muoto 0.5*arctan(u) eli 0.5*arctan((x 2)/2), eli kaavan tulos on ilmeisesti sittenkin oikea. Minusta sen kertoimen piti olla 0.25 kun tarkistin jälkikäteen mutta tämä on ainakin keino selvittää integraali ilman kaavaa.
En tullut todella ajatelleeksi että x 2 voi substituoida 2u:lla, jolloin integraalin näkee lopulta helposti.
Kiitos.
Eipä kestä. Samankaltaisia tehtäviä on tullut ratkottua syksyn mittaan aika tiiviisti matikan peruskurssilla.
Minua vielä kiinnostaisi, että mistä olet saanut aluksi käyttämäsi kaavan. Eipä ainakaan minulle ole tullut tuollaista ennen vastaan.
Hyvää joulunodotusta!
Anteeksi, etten vastannut aiemmin mutten käynyt täällä vasta kun nyt. Sain matikan tentistä arvosanaksi tasan 2. Mutta yritän vastata.
x^2 px q (tämä siis on nimittäjä)
1/(sqrt(q - p^2 / 4)) * arctan (x p/2)/(sqrt(q - p^2 / 4)) vakio
En muista nyt mikä tuo vakio tarkoitti. Neliöjuuren alla oleva lauseke on identtinen kummassakin kohdassa.
Toivottavasti tästä oli apua.