Tämä on lukion matikkakerhon open haasteita, en siis hae apua kotitehtäviin (kympit toistaiseksi)
a) Mikä kaikista yhtäsuuripiirisistä ympyrän sektoreista on suurin?
b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalla olevasta pisteestä P piirretään kateettien suuntaiset suorat. Missä pisteen P on oltava, jotta syntynyt suorakulmio olisi suurin mahdollinen?
En tarvitse ratkaisuja, mutta miten pääsisi alkuun? Olen a):n kanssa nyt tuhertanut aamuyöhön, mutta ei oikiein aukene. Järki sanoisi ,että sellainen, että kaari = 2 x säde, mutta onko se mikään ratkaisu?
b):stä sanoo etiäinen, että hypotenuusan puoliväli, mutta muuten ei haisuakaan.
Kiitos, jos joku viitsii jelpata! Tykkään todella matikasta
a) Mikä kaikista yhtäsuuripiirisistä ympyrän sektoreista on suurin?
b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalla olevasta pisteestä P piirretään kateettien suuntaiset suorat. Missä pisteen P on oltava, jotta syntynyt suorakulmio olisi suurin mahdollinen?
En tarvitse ratkaisuja, mutta miten pääsisi alkuun? Olen a):n kanssa nyt tuhertanut aamuyöhön, mutta ei oikiein aukene. Järki sanoisi ,että sellainen, että kaari = 2 x säde, mutta onko se mikään ratkaisu?
b):stä sanoo etiäinen, että hypotenuusan puoliväli, mutta muuten ei haisuakaan.
Kiitos, jos joku viitsii jelpata! Tykkään todella matikasta
Vastaukset 5
Vanhimmat
A(alfa,r)=(alfa/(2pi))*pi*r^2=alfa*r^2/2
PIIRI(alfa,r)=alfa*r (2r) => r*PIIRI/2=alfa*r^2/2 r^2 => A(r)=(r*PIIRI/2)-r^2, (PIIRI = vakio)
toisessa kolmion kanta on a ja korkeus b ja kolmion suorakulma origoon.
saadaan verranto yhdenmuotoisista komioista: y/(a-x)=(b-y)/x, tuosta y, ja se alan lauseke :
A=(a-x)(b-y), (näistä varmaan selviää, mitä nuo x ja y ovat)
Tuossa ekassa, jos sektorin kulma a, säde r ja piiri p, saadaan p = a*r 2*p. Siitä voit ratkaista vaikkapa a:n r ja p funktiona (p vakio).
Sektorin ala A = a*r^2/2. Sijoitat a;n, derivoit A:n r suhteen ja merkkaat nollaksi; saat r:n p:n funktiona ja edelleen a absoluuttiarvona.
Tuossa tokassa, sen voi ratkaista niin että otetaan kaksi tuntematonta, yhdenmuotoisista kolmioista ratkaistaan toinen ja derivoidaan toisen suhteen. Voi myös ratkaista niin että ensin todetaan yhtenevistä kolmioista alan olevan a*b/4 silloin kun kulmapiste on puolivälissä hypotenuusaa (a ja b kateetit). Jos kulmapiste liikkuu matkan d kateetin a suhteen, on muutos b*d/a kateetin b suhteen. Nuo huomioon ottaen kun lasket suorakulmion alan, saat lausekkeen jonka maksimi on kun d=0.
Toka tehtävä:
jos kolmion x-kateetti on a ja y-kateetti on b, saadaan hypotenuusa-suoralle yhtälö
y=-xb/a b
kysytty x,y-suorakuolmion ala on xy eli ylläoleva y sijoitettuna
A=f(x)=-x²b/a bx
Derivoidaan tämä ja ->0, siitä saadaan millä x-arvolla maksimi: x=a/2 -> y= b/2