Pelaaja heittää satasivuista noppaa. Ensimmäisen heiton jälkeen saa joko ottaa nopan ilmoittaman silmäluvun suuruisen voiton euroissa tai jatkaa heittämistä maksamalla 1€. Tämän jälkeen saa taas valita ottaako tulleen silmäluvun suuruisen voiton euroissa vai jatkaako heittämistä maksamalla 1€. Heittämistä saa jatkaa niin pitkään kuin haluaa (mutta uudesta heitosta täytyy siinä aina maksaa 1€) ja lopettaa (ja siis ottaa sen kertaisella heitolla saadun silmäluvun suuruinen potti euroissa) koska tahansa.
Mikä on tämän pelin optimaalinen odotusarvo?
Mikä on tämän pelin optimaalinen odotusarvo?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Korjauskommentti: Tietenkin tahkoista! Olkoon sitten vaikka tuhat tahkoista!!!
Tahkon saa alle 1000 €. En heitä. On liian painava.
Aikamoisen vaikea tehtävä. Pitäisi kai ensin määrittää kriteerifunktio heiton järjestysluvun funktiona että jos heitto ylittää funktion arvon, kanttaa lopettaa. Sen jälkeen odotusarvon laskeminen olisi suhteellisen helppoa.
Sukua tuolle tehtävälle on vaimon valinta -tehtävä. Siinä oletetaan että on tietty määrä vaimoehdokkaita joihin mies tutustuu yksi toisensa jälkeen. Ehdokkaiden hyvyys voidaan yksikäsitteisesti kvantifioida ja se noudattaa normaalijakaumaa. Kun on yhden ehdokkaan hylännyt, ei siihen voi enää palata. Millä strategialla saadaan mahdollisimman hyvä vaimo?
Jos hiukan kehittelen lisää. Eli on ensin valittava pistemäärä p1 joka nopan silmäluvun on vähintään oltava jotta pelaaja lopettaa ensimmäisen heiton jälkeen. p1:n avulla saadaan todennäköisyys että peli pysähtyy ensimmäiseen heittoon ja myös keskimääräinen pistemäärä siinä tapauksessa. Eli lopullisen pistesumman odotusarvon ensimmäinen komponentti. Sitten valitaan pistemäärä p2 jolla pelaaja lopettaa toisen heiton jälkeen. Saadaan pistesumman odotusarvon toinen komponentti. Jne. Saadaan maksimoitava funktio joka riippuu joukosta parametreja p1, p2, p3.... Numeerisia ratkaisumenetelmiä varmaan löytyy.
Tämä eroaa perinteisestä sihteerinvalintaongelmasta siinä, että nopan jakauma tunnetaan etukäteen. Näin ollen optimistrategia on helppo johtaa. En kuitenkaan muotoile sitä tähän, vihjaan vain. Oletetaan, että lopettamalla voittosi on M ja edessä on n. heitto. Tällöin kannattaa jatkaa, jos on todennäköistä, että M kasvaa jatkoheittosarjalla. Jos oikein laskin, ratkaisu tähän on, että kannattaa jatkaa, jos M n < 91.
Strategian tuottaman voiton odotusarvo on työläämpi laskea, ja esitän vain arvauksen, että se on noin 86:n tai 87:n tienoilla.
Jos otetaan tuo M n < 91 sääntö, tarkoittaisi se kai minun ehdottamassani menetelmässä että p1=89, p2=88 jne. Lasketaan todennäköisyyttä että kriteerinä käytetty pisteluku ylittyy; ensimmäisellä heitolla se on 1-(88/100); kahdella ensimmäisellä heitolla 1-(88/100)*(87/100) jne. Tuo todennäköisyys tulee suuremmaksi kuin 0,5 viidennellä heitolla, jolloin p5=84. Tuolloin siis valittu rajapistemäärä todennäköisimmin ylittyy ja saatava pistemäärä on keskimäärin (84 100)/2=92. Toisaalta sakkoja on kertynyt 4 pistettä joten lopullinen pistemäärä on 88. Eli tuo karkea laskelma vahvistaa että tuolle hehtaarille optimi luultavimmin osuu.
Ajattelisin simppelisti niin että kullakin heittokerralla saatavien lisäpisteiden odotusarvon pitää olla suurempi kuin yksi. Jos siis on saatu silmäluku x, on todennäköisyys (100-x)/100 että seuraavalla heitolla saadaan suurempi silmäluku kuin x. Se silmäluku voi olla välillä x 1...100 joten keskiarvo lisäpistemäärälle on (100 x 1)/2 - x. Siis pitää olla (100-x)*(101-x)/200 > 1. Ratkaisuksi saadaan x = 86,3. Jos siis saatu paras pisteluku on alle 87, kannattaa jatkaa, jos vähintään 87, ei kannata. Tuo vähintään 87 saavutetaan todennäköisesti viidellä heitolla ja keskisilmäluku on (87 100)/2 = 93,5. Neljä sakkopistettä pudottaa potin 89,5:een. Tarkempi arvio saataisiin kun laskettaisiin erikseen todennäköisyys että vähintään 87 saadaan tietyllä heittokerralla.
Expected Return = Payout x Pr(win)-Bet amount x Pr (loss)
Mutta optimaalisella odotusarvolla tarkoitat tarkalleen mitä ?
En ole aloittaja mutta olettaisin että ensin pelaaja valitsee jonkin pelistrategian. Tuohon strategiaan liittyy tietty voiton odotusarvo. Parhaalla strategialla saadaan suurin voiton odotusarvo, se on optimaalisin.