Tämäpä kuvion muodostus askarruttaa:
Olkoon I pituudeltaan l:n mittainen jana tasossa ja t > 0. Mikä on sen tasojoukon pinta-ala A(t), jonka pisteiden etäisyys I:stä on pienempi kuin t? Piirrä kuvio.
Tiedän sen muodostuvan kahdesta suorakulmiosta joiden päässä on t-säteiset puoliympyrät. Osaisiko joku laittaa tuon vaiheisiin millä perusteella näin?
Olkoon I pituudeltaan l:n mittainen jana tasossa ja t > 0. Mikä on sen tasojoukon pinta-ala A(t), jonka pisteiden etäisyys I:stä on pienempi kuin t? Piirrä kuvio.
Tiedän sen muodostuvan kahdesta suorakulmiosta joiden päässä on t-säteiset puoliympyrät. Osaisiko joku laittaa tuon vaiheisiin millä perusteella näin?
Vastaukset 7
Vanhimmat
No eipä siinä ole muuta kuin että mielivaltaisen pisteen lyhin etäisyys janasta saadaan kun vedetään jana I:n päätepisteeseen tai projisoidaan piste I:lle. Tuo projektio aiheuttaa suorakulmion ja janat päätepisteisiin tuottavat puoliympyrän.
A(t) = 2lt πt²
A(t) / t = 2l πt -> 2l, kun t -> 0
Jäin ihmettelemään, miten täsmällisesti tuon tasokuvion muoto pitäisi todistaa ottaen huomioon että kyseessä on lukiotasoinen tehtävä. Täsmällisesti menisi esim. niin että oletetaan tuo kuvio, sitten osoitetaan että sen sisällä olevien pisteiden minimietäisyys janasta ja pienemmäksi kuin t ja vastaavasti ulkopuolella olevien pisteiden minimietäisyys suuremmaksi kuin t.
"Joukko muodostuu suorakulmiosta, jonka sivut ovat l ja 2t, ja kahdesta t-säteisestä puoliympyrästä"
Tuo riitti.
Siis riitti kenelle, ylioppilaslautakunnalle? Tuo kaksi l pituista janaa ja puoliympyrät voidaan helposti todeta niiden pisteiden uraksi jotka ovat t minimietäisyydellä janasta. Mutta sekin pitäisi perustella että sisäpisteet kuuluvat tarkoitettuun kuvioon ja ulkopisteet eivät, vaikka on piirrettäessä hyvin ilmeinen seikka.
Aivan! Ura ja pisteiden minimietäisyys janasta. Tämä sen avasi. Meni kyllä liian kauan taas tajuta tämäkin.
Tuossa kannattaa ensin todeta, että kuvio muodostuu piirtämällä janan jokaiseen pisteeseen t-säteinen ympyrä, ja se kuvio kannattaa piirtää x-akselille.
Silloin kuvio muodostuu kahdesta t-säteisestä puoliympyrästä, sekä ympyräparven
(x-C)^2 y^2=t^2 kahdesta verhokäyrästä.
Verhokäyrät saadaan derivoimalla tuo C:n suhteen, asettamalla derivaatta nollaksi, ja takaisin sijoituksella.
-2(x-C)=0 => x-C=0, ja takaisin sijoittamalla verhokäyriksi tulee: y= -t.
Kuvio on se suorakulmio, ja puoliympyrät päässä, ja A(t)= L*2t pi*t^2