Kuten itsenäisesti kirjaa Statistics Inference. Minua hämää lauseen 1.5.10 todistuksen toinen suunta. Eli miten todistetaan, että jos satunnaismuuttujien X ja Y kertymäfunktioille pätee F_X(x)=F_Y(x) kaikilla x, niin X ja Y ovat identtiset jakautuneina. Kirjassa on annettu lähde, mutta minulla ei sitä ole. Linkkinä on käyttää sigma-algebroja mutta miten?
Kertymäfunktiosta
Itseopiskelija
8<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tee vastahypoteesi, että F_X(x)=F_Y(x) kaikilla x, mutta X(A) ei ole Y(A) jollakin sigma-algebran A:lla. Jos tästä saat ristiriidan, niin hyvä.
P.S. En kyllä ymmärtänyt sanontaasi "X ja Y jakautuneina", vaan vastaukseni perustuu siihen, että tarkoitit: X ja Y ovat identtiset mittoina.
Kyllähän kertymäfunktio määrittelee jakauman täsmällisemmin kuin jokin tiheysfunktio. Voisikohan olla kysymys jakauman määritelmästä kertymäfunktion avulla?
En minäkään ihan ymmärtänyt, mitä tarkoittaa tuo "identtiset jakautuneina".
Nimimerkin "Laskee" kommentti on myös omituinen, eivät X ja Y ole mittoja vaan satunnaismuuttujia, siis mitallisia kuvauksia todennäköisyysavaruudesta reaaliakselille.Eivät ne siis voi olla "identtiset mittoina".
Jos P(X =/ Y) = 0, ovat X ja Y ekvivalentteja. Niillä on silloin sama kertymäfunktio. Mutta kuvauksina X ja Y eivät välttämättä ole identtiset, sillä ne voivat saada eri arvot nollamittaisessa joukossa joka kuitenkaan ei ole tyhjä joukko.
Juu sori, oikaisin tuossa hieman, kun tänne ei viitsi niin pitkään kirjoittaa ja joka yksityiskohtaa selittää. Selvennys: nuo satunnaismuuttujat generoivat sigma-algebran ja sitä kautta siis mitalliset joukot ja mitat X¨ ja Y¨.
Avaaja korjattua kielioppivirheensä luulen ymmärtäväni. Termi "identtisesti jakautuneet" viitannee yhtäsuuruuteen kaikilla ei-nollamittaisilla sigma-algebran joukoilla (olen kuullut myös termiä "samoin jakautuneet". Tällöin, kuten totesit, kuvauksina niiden ei tarvitse olla identtiset.
Korjaan täten ensimmäistä vastaustani:
Tee vastahypoteesi, että F_X(x)=F_Y(x) kaikilla x, mutta X¨(A) ei ole Y¨(A) jollakin sigma-algebran ei-nollamittaisella A:lla.
Siis kirjassa on määritelty:
Satunnaismuuttujat X ja Y ovat identtisesti jakautuneita, jos jokaisella A kuuluu B1:een pätee P(X in A)=P(Y in A). Tässä B1 on pienin sigma-algebra, joka sisältää kaikki reaalilukujen välit muotoa (a,b), [a,b), (a,b] ja [a,b].
Oli tietysti typo kirjoittaa identtiset jakautuneina, kun piti kirjoittaa identtisesti jakautuneita.
Ja yksi muu typo vielä. Kirja on siis Statistical Inference, kirjoittaneet George Casella ja Roger L. Berger.
Olipa hankala enkä osannut itse. Ratkaisu on nyt kuitenkin osoitteessa http://math.stackexchange.com/questions/1404192/cumulative-distribution-function-implication/1404200#1404200 . Enpä ollut kuullut tuosta monotonisesta luokkalauseesta ennen.
Todistus löytyy esim. teoksesta Robert B. Ash : "Real Analysis and Probability".
Kirjoitin kaksikin kommenttia äsken mutta eivät näytä ilmestyneen tänne. En viitsi enää kolmatta kertaa tämän pitempää yrittää.
Ohman