Trigonometriaa

Noinkohan tuo onnistuisi? Otetaan esimerkki.

sin (7x) = 7 sin(x) -56 sin^3(x) 112 sin^5(x) - 64 sin^7(x)

cos7x) = 64 cos^7(x) -112 cos^5(x) 56 cos^3(x) - 7 cos(x)

Jaapa vaihkoo nyt nämä lausekkeet keskenään ja näytä että saat lausuttua tan^7(x) :n tan(x):n potenssien avulla.

Lycka till!

Ohman

Ohman kirjoitti:

Noinkohan tuo onnistuisi? Otetaan esimerkki.

sin (7x) = 7 sin(x) -56 sin^3(x) 112 sin^5(x) - 64 sin^7(x)

cos7x) = 64 cos^7(x) -112 cos^5(x) 56 cos^3(x) - 7 cos(x)

Jaapa vaihkoo nyt nämä lausekkeet keskenään ja näytä että saat lausuttua tan^7(x) :n tan(x):n potenssien avulla.

Lycka till!

Ohman

Tuli kaksi kirjoitusvirhettä tuohon äskeiseen. cos-kaavassa p.o cos(7x) (vasen sulku puuttui). Lopussa pitää olla "lausuttua tan(7x):n" eikä tan^7(x):n.
Ohman

Tuli tuohon äskeiseen kaksi painovirhettä. cos-kaavasta puuttui vasen sulku, p.o. cos(7x). Ja myöhemmin "lausuttua tan^7(x):n p.o."lausuttua tan(7x):n".Sori.
Ohman

Mitähän tämä sivusto oikein pelleilee. Ensin näytti siltä, ettei suostunut lähettämään kommenttia, kirjoitin uuden ja nyt molemmat ovat kuitenkin täällä. Sori^2. Ohman

Tänne vain heitellään vastauksia mutta vastaavatko ne tosiaan kysymykseen.Tuolla linkissä kerrotaan, että tuo menetelmä antaa tuloksen

tan(nx) = (H K tan(x)) / (K - H tan(x)) missä H/K = tan((n-1)x).

Mitenkähän jotaink tuosta saat lausuttua tan (nx) :n tan(x): n potensseina? Tätä kuitenkin alkuperäinen kysyjä kysyi.

Ohman

Käytät kaavaa n-1 kertaa. Esimerkiksi tan 3x=(3·tan x−tan^ 3x)/(1−3·tan^2x)

Saahan tuollaisen kehitelmän aikaan käyttämällävain tangentin yhteenlaskukaavaa.

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x))

tan(3x) = tan(2x x) = (tan(2x) tan(x)) / (1 - tan(x) tan(2x)) =

(tan(x) (2 tan(x)) / (1 - tan^2(x))) / (1 - tan(x) ((2 tan(x)) / (1 - tan^2(x))) =

(tan(x) - tan^3(x) 2 tan(x)) / (1 - tan^2(x) - 2 tan^2(x)) = (3 tan(x) - tan^3(x)) / ( 1 - 3 tan^2(x))

Ja niin edelleen, aina on tan (nx) = tan (n-1) x x) eli kyllä tuosta tuollainen kehitelmä syntyy ilman kompleksilukujakin.

Muistettakoon kuitenkin, että tan(nx) = tan( nx - k*pii), missä k valitaan niin että
-pii/2 <= nx - k*pii <= pii/2 joten ei kannata tuollaisella kehitelmällä ruveta nx:n tangenttia laskemaan! Heko-heko!

Ohman

Ohman kirjoitti:

Saahan tuollaisen kehitelmän aikaan käyttämällävain tangentin yhteenlaskukaavaa.

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x))

tan(3x) = tan(2x x) = (tan(2x) tan(x)) / (1 - tan(x) tan(2x)) =

(tan(x) (2 tan(x)) / (1 - tan^2(x))) / (1 - tan(x) ((2 tan(x)) / (1 - tan^2(x))) =

(tan(x) - tan^3(x) 2 tan(x)) / (1 - tan^2(x) - 2 tan^2(x)) = (3 tan(x) - tan^3(x)) / ( 1 - 3 tan^2(x))

Ja niin edelleen, aina on tan (nx) = tan (n-1) x x) eli kyllä tuosta tuollainen kehitelmä syntyy ilman kompleksilukujakin.

Muistettakoon kuitenkin, että tan(nx) = tan( nx - k*pii), missä k valitaan niin että
-pii/2 <= nx - k*pii <= pii/2 joten ei kannata tuollaisella kehitelmällä ruveta nx:n tangenttia laskemaan! Heko-heko!

Ohman

Taas painovirhe. P.o. tan(nx) = tan((n-1)x x)

Kun et nyt kerran kertonut, mitä tuo "pieni pyörittely" on, niin kerronpa ainakin yhden mahdollisuuden.

e^(ix) = cos(x) i sin(x) joten tan(x) = Im(e^(ix)) / Re(e^(ix))

e^(i nx) = cos(nx) i sin(nx) joten tan(nx) = Im(e^(inx)) / Re(e^(inx))

Toisaalta e^(inx) = (e^(ix))^n = (cos(x) i sin(x))^n = cos^n(x) C(n,1) cos^(n-1) (x) * i* sin(x) C(n,2) cos^(n-2)(x) * (i sin(x))^2 ... (i sin(x)) ^n = cos^n(x) * ( 1 C(n,1) i tan(x) C(n,2) (i tan(x))^2 ... (i tan(x))^n)

Nyt tan(nx) on,kuten äsken jo sanoin, Im(e^(inx)) / Re(e^(inx)) ja tuo nimimerkin 43...35 kehitelmä saadaan tästä sillä tekijä cos^n(x) esiintyy sekä osottajassa että nimittäjässä ja supistuu pois.

"Näin se käy" sanoi Billy Pilgrim.

Ohman

http://math.stackexchange.com/questions/1430837/how-to-express-tan-kx-as-a-function-of-tan-x/1430855#1430855

Laitoitko sinä siis tuon kysymyksen tuonne? Jos näin on, niin kiitos siitä.
Ohman tuossa kysyi välivaiheita, joten laitan ne nyt, koska en jaksanut enää silloin eilen kirjoittaa enempää. (Hän tosin itsekin jo esitti ne, mutta laitan nyt silti.)
tan(kx) = sin(kx) / cos(kx)
= [ Im ( cos(kx) i sin(kx) ) ] / [ Re ( cos(kx) i sin(kx) ) ]
= [ Im ( (cos(x) i sin(x))^k ) ] / [ Re ( (cos(x) i sin(x))^k ) ]
= [ Im ( Σ (kCj) * (cos(x))^(k - j) * (i sin(x))^j ) ] / [ Re ( Σ (kCj) * (cos(x))^(k - j) * (i sin(x))^j ) ]
= [ Im ( Σ (kCj) * i^j * (tan(x))^j ) ] / [ Re ( Σ (kCj) * i^j * (tan(x))^j ) ]
Ja tämänhän voi sitten vielä saattaa tuohon Henning Makholmin esittämään muotoon (parilliset ja parittomat j:n arvot jne.).
Kertokaa, jos teillä on vielä jotain huomautettavaa.

"Laitoitko sinä siis tuon kysymyksen tuonne?"

Laitoin. Mietin eri tapoja ratkaista ongelma, mutta en keksinyt tähän tilanteeseen sopivaa menetelmää. Onneksi fiksumpia auttajia on olemassa.

No olipa tosiaan turhaa esittää jo esittämäni juttu uudestaan! Ja esitin toisenkin tavan miten reaalimuuttujillakin saadaan kehitelmä aikaan.Lisäksi kerroin, mistä nuo Im ja Re tähän ilmestyvät, nim. Eulerin kaavasta, mitä sinä et vieläkään esittänyt. Luulisin täällä olevan lukijoita joille asia ei ollut ihan selvä.

Kehitelmää voisi tietysti kaunistaa kehittämälläsen "auki" niin että ei tarvittaisi noita "Im" ja "Re" lausekkeita. Vai kaunistuneeko tuo?

Tämä riittää minun osaltani tästä tehtävästä.

Ohman

On se hyvä, että Ohman laskeutui sieltä korkeuksistaan (lue Tiede.fi sivustolta) tänne meidän tavallisten kuolevaisten joukkoon jakamaan armollista laupeuttaan ja tuottamaan meille ilon ja onnellisuuden hetkiä.